독특한 3sat 독특한 1-in-3sat

Question

크기 2와 3의 클로스가있는 CNF 공식이 있다고 가정합니다. 고유 한 만족 과정이 있습니다.

2 진수 회로로 만들어졌습니다. 이는 2 개의 프라이머 A와 B가 Semiprime 번호 인 A * B= S를 곱합니다. 나는!= 1, b!= 1 및 <= b의 조건을 추가 한 다음 수식에 S 값을 추가하여 할당이 고유한지 확인합니다. 수식을 만족시키는 유일한 방법은 Prime A와 B의 값을 입력 비트에서 올바른 순서로 올바른 순서로 두는 것입니다.

1-in-3sat에서 우리는 각 삼중 항에서 정확히 1 개의 리터럴이 사실이고 두 가지 다른 두 가지가 거짓이되어야합니다. 정확히 2 개의 리터럴이 참이면 절의 모든 iterals를 뒤집어서 동등한 1-in-3sat 절을 얻으려면 (즉, 2-in-3sat는 동일한 문제가있는 경우).

기본 관찰 : 일반 또는 절이 8 개 중 1 개를 제거하는 동안 1-in-3 절은 8 개 중 5 가지 가능성을 제거합니다.

3SAT는 3SAT 공식이 만족 될 수있는 경우,이어서 3SAT 공식이 만족되면 감소 된 공식이 될 수 있습니다.

그러나 감축은 그 가치를 강제하지 않고 새로운 변수를 도입함으로써 과제 수를 보존하지 않는 것으로 보입니다.

독특한 3sat가 고유 한 1-in-3sat로 축소 될 수 있습니다 ...

1. 정확한 과제를 알지 못하고
2. 가 아닌 경우 올바른 과제를 알고있는 동안?

Answer 1

예, 3-SAT 수식 $ \ phi $ 은 1-in-3 SAT 포뮬러 만족스러운 과제의 수를 보존하면서 $ \ phi '$ . 모호성을 피하기 위해 3-SAT 절의 리터럴과 1-in-3 SAT 절의 리터럴 사이의 쉼표 사이의 " $ \ vee $ "을 사용할 것입니다. < / P>

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두 리터럴 $ a $ 및 $ b $ 을 고려할 수 있음을 보여주십시오. 새로운 변수 $ x의 값을 강제하는 새로운 유형의 절 $ (x= a \ wedge b) $ 을 시뮬레이션합니다. $ $ a \ 웨지 B $ 새 솔루션을 도입하지 않고 1-in-3 SAT 제약 조건을 사용하여

cluases를 고려하십시오. $$ (\ overline {b}, c, x) \ wedge (A, C, D) \ 쐐기 (\ overline {a}, e, x) \ 쐐기 (B, E, F) $$

$ a=top $ 및 $ b= top $ , 2 번째 4 번째 절은 $ C= D= E= F=Bot $ 을 보장합니다. 그런 다음 첫 번째 및 3 번째 절은 $ x= 톱 $ 을 보장합니다.

$ a=top $ 및 $ b= 봇 $ , 2 번째 절은 $ c= d=bot $ 을 보장합니다. 첫 번째 절은 $ x= 봇 $ 을 보장합니다. 3RD 절은 $ e=top $ 을 보장하고 4 절은 $ f=bot $ .

케이스 $ a=bot $ 및 $ b=$ 은 대칭입니다.

$ a=bot $ 및 $ b=bot $ , 첫 번째 및 3RD 클로스는 $ C= E= x=Bot $ 을 암시합니다. 제 2 및 4 절은 $ d= f=top $ 을 보장합니다.

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이제 $ \ phi $ 을 수식 $ \ phi '$ < / span> 1-in-3의 SAT. $ \ phi $ 의 $ (a \ vee b \ vee c) $ 을 고려하십시오. 이것은 다음과 같은 1-in-3 SAT 절로 변형 될 수 있습니다.

• 새로운 변수 $ x $ 이 true 인 $ a $ 은 false입니다 $ b $ 은 true입니다. 이것은 $ (x=overline {a} \ wedge b) $ 에 의해 인코딩됩니다.

• 새로운 변수 $ y $ 은 true IFF $ a $ 은 false입니다 $ b $ 은 false이고 $ c $ 은 true입니다. 추가 변수 $ z $ 이 필요합니다. $ (z=overline {a} \ wedge \ overline {a}} \ span>) $ 은 $ z $ < / span> $ a $ 이 false이고 $ b $ 이 거짓 인 경우에만 true입니다. 그런 다음 $ y $ 은 $ (y= z \ 웨지 C) $

• $ (a \ vee b \ vee c) $ 은 $ 중 적어도 하나입니다. $ , $ b $ 또는 $ c $ 은 true입니다. 즉, $ a $ , $ x $ 및 $ y $ 은 true입니다. $ (a \ vee b \ vee c) $ 이 false이면 $ a $ , $ x $ 및 $ y $ 은 거짓입니다. 이는 $ (a \ vee b \ vee c) $ 이 $ (a, x, y $ )가 만족 스럽습니다.

우리는 원래의 3 SAT 포뮬러 <스팬의 변수의 수퍼 세트를 사용하는 1-in-3 SAT 포뮬러 $ \ phi '$ 을 구성했습니다. class="수학 용기"> $ \ phi $ . $ \ phi '$ 의 변수에 대한 진실 할당은 $ \ phi'$ 만으로 만족합니다. $ \ phi $ 의 변수로 제한된 할당은 $ \ phi $ 을 만족시킵니다. 따라서 $ \ phi '$ 에 대한 새로운 솔루션이 도입되면 새로 추가 된 변수 $ x $

n>, $ y $ 및 $ z $ (각 절에 대해 하나의 세트).그러나 이러한 변수의 값은 $ \ phi $ 의 변수 값에 의해 완전히 결정됩니다.

Answer 2

이러한 감소는 Régis Barbanchon의 부록 B에 설명되어 있습니다. 고유 한 그래프 3-비행기에서의 색상 성과 연관성 감소 .Barbanchon은 이전의 작업 (참고 문헌의 [9])에 속한다.다른 곳에서는 Schaefer의 유명한 종이에 대한 기여를 보았습니다. 그가 유명한 이분법 정리를 입증 한 3SAT에서 1-in-3sat에서 3sAT에서 1-in-3sat로 감소합니다 (체크하지 않은)