产生树的边缘概率

Question

修复一些有限图 $ g=（v，e）$ ，以及一些顶点 $ x $ 。

假设我生成 $ g $ 的大小 $ n $ ，包含 $ x $ ，如下所示：

let $ t_0={x \} $ 。

1. $ 0

   i。让 $ b_n $ 是 $ t_ {n-1} $ 之外 $ t_ {n-1} $ 。

   II。 form $ t_n $ by

   • 样本a对 $（x_n，y_n）\中的e（g）\ cap \ left（v（t_ {n-1}）\ times b_n \ light）$ < / span>，具有概率 $ q_n（x_n，y_n | t_ {n-1}）$ ，
   • add $ y_n $ 到 $ v（t_ {n-1}）$ ，并添加 $（x_n，y_n）$ 到 $ e（t_ {n-1}）$ 。

2. return $ t_n $ 。

也假设 $ q_n（x_n，y_n | t_ {n-1}）$ 可以轻松地计算所有 $（t_ {n-1}，x_n，y_n）$ 。我对有效的和完全计算生成树的边际概率 $ t_n $ ，因为我开始在上$ t_0={x \} $ ，即

$$ p（t_n | t_0={x \}）=sum_ {x_ {1：n}，y_ {1：n}} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n（x_n，y_n | t_ {n-1}）。$$

我的问题本质上是我应该期望能够找到它的有效（即多项式）算法，如果是，它可能是什么。

一些想法：

• 天真，总和具有指数级 - 许多术语，这排除了试图直接评估总和。

另一方面，这个问题也是高度结构的（树，递归等），这可能表明某种动态编程方法是可行的。我不确定如何接近这个。

• 相关，我知道如何计算 $ p（t_n | t_0={x \}）$ 的非偏见，非负估计器通过使用顺序蒙特卡罗/颗粒滤波的技术具有合理的方差性质。这表明问题至少可以在合理的时间内近似近似。

Answer 1

no。如果 $ q（x_n，y_n | t_ {n-1}）$ 是任意的 - 可以有一个任意依赖于 $ t_ {n-1} $ - 那么这需要指数时间。

考虑一条树 $ t_n $ ，具有单个根节点， $ n-1 $ 叶子，以及从根到每个叶子的边缘。有 $ 2 ^ n $ $ t_n $ ，尤其存在 $ 2 ^ n $ $ t_n $ 的可能值，可以在表达式

中出现

$$ \ sum_ {x，y} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n（x_n，y_n | t_ {n-1}）。$$

人可以使用简单的对手论证来证明评估此表达需要指数时间。假设我们评估 $ q_n（x_n，x_n | t_ {n-1}）$ 通过查询hysacle $ x_n ，y_n，t_ {n-1} $ 。假设有一个树 $ t $ 从未查询过的Oracle作为任何 $ t_ {n-1} $ 。选择所有 $ q_n（\ cdots）$ 值，以严格为正。然后，由于 $ Q_N（X_N，Y_N | T）$ 在执行期间没有查询，我们可以在观察算法的输出后选择它;但通过改变它，我们可以选择使算法的输出错误的值（特别是，表达式的值取决于 $ q_n（x_n，y_n | t）$ 但算法的输出不依赖于 $ q_n（x_n，y_n | t）$ ，因此算法的输出无法纠正）。我们已经证明，要生成正确的输出，任何正确的算法都必须查询所有 $ 2 ^ $ 可能的子树的 $ t_n $ 。它至少需要 $ o（1）$ 时间来查询Oracle。

总之，该论点证明了任何用于计算此表达式的正确算法必须采用<跨度类=“math-container”> $ \ oomega（2 ^ n）$ 时间。

我不知道它是否可以始终在 $ o（2 ^ n）$ 时间中，或者是否可能是 $ O（n！）$ 时间可能需要。