木を生み出すことの限界確率

Question

いくつかの有限のグラフ $ g=（v、e）$ 、およびいくつかの頂点 $ x $ 。

sype $ n $ の $ g $ のランダムなサブツリーを生成したとします。 $ x $ は、次のようにします。

1. $ t_0={x \} $ 。
$ 0

i。 $ b_n $ の $ t_ {n-1} $ の一部にある $ t_ {n-1} $ 。

ii。 form $ t_n $ by

• Pay $（x_n、y_n）\ in（g）\ cap \ reden（v（t_ {n-1}）\ times b_n \ right）$ < / span>、確率 $ Q_n（x_n、y_n | t_ {n-1}）$ 、
• $ y_n $ $ v（t_ {n-1}）$ に$ v（t_ {n-1}） $（x_n、y_n）$ $ E（t_ {n-1}）$ 。

2. $ t_n $ 。

$ q_n（x_n、y_n | t_ {n-1}）$ はすべての $（t_ {n-1}、x_n、y_n）$ 。 $ t_n $ を生成するという限界確率を正確に計算しました。 $ T_0={x \} $ 、つまり

$$ p（t_n | t_0={x \}）=sum_ {1：n}、y_ {1：n}} \ prod_ {n= $$

私の質問は、このために効率的な（すなわち多項式 - 時間）アルゴリズムを見つけることができると予想されるべきであるかどうか、そしてそうであれば、それがあるかもしれないものである。

いくつかの考え：

• 素朴な合計には、要約的に多くの用語があり、これは直接合計を評価しようとしています。

• その一方で、この問題も高度に構造化されています（木、再帰など）、ある種の動的プログラミングアプローチが実行可能であることを示唆している可能性があります。私はこれに近づく方法を正確に確信していません。

• 関連して、 $ p（t_n | t_0={x \}）$ の偏りの不偏否か、非負推定量を計算する方法を知っています。順次モンテカルロ/粒子フィルタリングからの技術を使用することによって、合理的な分散特性を持つ。これは、問題が少なくとも妥当な時間的な時間に近似することが可能であることを示唆している。

Answer 1

いいえ。 $ q（x_n、y_n | t_ {n-1}）$ の場合は任意です - $ t_ {n-1} $ - これには指数時間が必要です。

単一のルートノードを持つツリー $ t_n $ 、 $ n-1 $ 葉、根から各リーフへのエッジ。 $ 2 ^ n $ $ t_n $ のサブツリー、特に $ 2 ^ n $ $ t_n $ の可能な値

$$ \ sum_ {x、y} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n（x_n、y_n | t_ {n-1}）。$$

は単純な敵対的な引数を使ってこの式を評価することを証明することができます。 $ x_nを使用してOracleを照会することで、 $ q_n（x_n、x_n | t_ {n-1}）$ を評価するとします。 、y_n、t_ {n-1} $ 。 $ t_ {n-1} $として、$ t $ が単一のツリー $ q_n（\ cdots）$ 値を厳密に正に肯定的に選択します。その後、 $ q_n（x_n、y_n | t）$ が実行中に照会されていなかったので、アルゴリズムの出力を観察した後に選択できます。しかし、それを変えることによって、アルゴリズムの出力を間違っている値を選択することができます（特に式の値は $ q_n（x_n、y_n | t）$ しかし、アルゴリズムの出力は $ q_n（x_n、y_n | t）$ に依存しないため、アルゴリズムの出力は正しくありません）。正しい出力を生成するために、正しいアルゴリズムは、任意の $ 2 ^ n $ の可能なサブツリーのサブツリーをOracleに問い合わせることが証明されています。 > $ t_n $ 。それは少なくとも $ o（1）$ 時刻を照会して、Oracleを照会します。

結論として、この引数は、この式を計算するための正しいアルゴリズムが $ \ omma（2 ^ n）$ 時間を取る必要があることを証明しています。

$ o（2 ^ n）$ 時刻、またはおそらく $ O（n！）$ 時間が必要になるかもしれません。