나무를 생성하는 한계 확률

Question

일부 유한 그래프 $ g= (v, e) $ 및 일부 정점 $ x $ .

$ g $ 의 $ n $ 을 생성한다고 가정 해보십시오. $ x $ , 다음과 같이 :

1. $ t_0= {x \} $

2. $ 0

   i. $ b_n $ $ t_ {n-1} $ $ T_ {n-1} $ .

   ii. 양식 $ T_N $

   • 샘플 $ (x_n, y_n) \ e (g) \ cap \ left (v (t_ {n-1}) \ times b_n \ right) $ < $ q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ ,
   • $ y_n $ $ v (t_ {n-1}) $ 및 추가 $ (x_n, y_n) $ $ e (t_ {n-1}) $ .

3. $ t_n $ .

$ q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ 모두 $ (t_ {n-1}, x_n, y_n) $ . 나는 $ t_n $ 을 생성 할 확률을 효율적으로 계산하고 정확히 계산하는 것입니다. $ T_0={x \} $ , 즉

$$ p (t_n | t_0={x \})=sum_ {x_ {1 : n}, y_ {1 : n}} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}). $$

내 질문 은 본질적으로 이것을 위해 효율적인 (즉, 다항식 타임) 알고리즘을 찾을 수 있고 그렇다면 그것이 무엇인지 여부를 기대 해야하는지 여부입니다.

몇 가지 생각 :

• 순진한, 합계는 기하 급수적으로 많은 용어가 있으며, 이는 합계를 직접 평가하려는 것을 배제합니다.

• 반면이 문제는 또한 고도로 구조화 된 (나무, 재귀 등)이며, 어떤 종류의 동적 프로그래밍 방식이 실현 가능한지를 제안 할 수 있습니다. 나는 이것을 어떻게 접근하는 방법을 확신하지 못한다.

• 관련, $ p (t_n | t_0={x \}) $ 의 편견없는 비호적 인 추정기를 계산하는 방법을 알고 있습니다. 순차적 인 몬테 카를로 / 입자 필터링에서 기술을 사용하여 합리적인 분산 특성을 갖습니다. 이는 적어도 합리적인 시간에 문제가 적어도 적어도 가능하다는 것을 암시합니다.

Answer 1

아니오. $ q (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ 이 임의적이면 $ t_n $ $ n-1 $ 잎 및 각 잎에 루트의 가장자리. $ t_n $ 의 $ 2 ^ n $ span> $ 2 ^ n $ 하위 트리가 있습니다. 특히 $ 2 ^ n $ $ t_n $

$$ \ sum_ {x, y} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}). $$

이 표현식을 평가하는 것은 지수 시간이 필요하다는 것을 증명하기 위해 간단한 적의 인수를 사용할 수 있습니다. $ x_n으로 Oracle을 쿼리하여 $ q_n (x_n, x_n | t_ {n-1}) $ 을 평가한다고 가정합니다. , y_n, t_ {n-1} $ . $ t_ {n-1} $로 오라클에 쿼리되지 않는 단일 트리 $ T $ 이 있다고 가정 해보십시오. . $ q_n (\ cdots) $ 값을 엄격하게 긍정적으로 선택하십시오. 그런 다음 $ Q_N (x_n, y_n | t) $ 은 실행 중에 쿼리되지 않고 알고리즘의 출력을 관찰 한 후에 선택할 수 있습니다. 그러나 다양 해지면 알고리즘의 출력이 잘못되는 값을 선택할 수 있습니다 (특히 표현식의 값은 $ Q_N (x_n, y_n | t) $ 알고리즘의 출력은 $ Q_N (x_n, y_n | t) $ 에 의존하지 않으므로 알고리즘의 출력이 수정할 수 없습니다). 우리는 올바른 출력을 생성하기 위해 올바른 알고리즘이 올바른 알고리즘이 모든 $ 2 ^ n $ 가능한 하위 트리 $ T_N $ . Oracle을 쿼리하는 데 적어도 $ o (1) $ 시간이 걸립니다.

결론적 으로이 표현식을 계산하기위한 올바른 알고리즘은 $ \ omega (2 ^ n) $ 시간을 가져 가야한다는 것을 증명합니다.

$ o (2 ^ n) $ 시간 또는 $ o (n!) $ 시간이 필요할 수 있습니다.