TM与改变TM之间的等价

Question

让变化的tm是一个无法写入正在读取的相同符号的tm。 正式： $ M ^ *=（q，\ sigma，\ gamma，\ delta，q_ {accept}，q_ {refact}）$ ， $ \ delta（q，a）=（q ^ *，a ^ *，c），a \ neq a ^ * $ 带 $ q，q ^ * \ in q，a，a ^ * \ in \ gamma，c \ in \ {r，l \} $ 。 现在我需要证明改变的TM相当于正常的TM。

我的猜测是创建一个多磁带tm，它能够模拟改变的tm（因此tm是等效的tm，因为每个多磁带tm都有等同的单磁带tm，但我不可用完成（写下正式和无格式化）。

Answer 1

这是证明改变的TM可以模拟TM的另一种简单的方法。这种解决方案在前一个解决方案的优势是它在没有任何额外的繁琐工作的情况下，无论允许“留守”运动，无论是否允许。

let $ t $ 是带磁带字母 $ \ gamma $ 的tm。使用相同的状态空间和磁带字母 $ \ gamma' $ ，创建更改TM $'$ 使用 $ 2 | \ gamma | $ 符号：对于每个符号 $ a \ in \ gamma $ 添加两个< Span Class=“math-container”> $ a $ 和一个新的符号 $ a'$ 到 $ \ gamma'$ 。

对于每个转换 $（q，a）\ to（q'，b，m）$ $ t $ 将以下转换添加到 $ t'$ （请注意您可能有 $ a= b $ < / span>）：

• $（q，a）\ to（q'，b'，m）$
• $（q，a'）\ to（q'，b，m）$

换句话说，您正在处理两个符号 $ a $ 和 $ a'$ 仿佛是相同的。每当您读取“常规”符号（即，来自 $ \ gamma $ ）时，您将写一个“Prime”符号。每当你读取“Prime”符号（即，来自 $ \ gamma'\ setminus \ gamma $ ）时，您将写一个“常规”符号。

Answer 2

很明显，TM可以模拟变化的TM，因此您只需显示逆转。让我允许在改变的图灵机中使用“保持”运动。它很容易（但乏味）删除此假设并保持下面的论点更直观。

您可以执行以下操作：从一个tm $ t $ ，设置状态 $ q $ 磁带字母 $ \ gamma $ 。然后，使用状态 $ q'= q \ cup（q \ times \ gamma \时代\ {l，r \}）$ 和磁带字母 $ \ gamma'=gamma \ cup \ {\ gamma \} $ 。

直观，状态 $ q \ in q $ $ t'$ 表示状态 $ q $ $ t $ ，而state $（q，a ，m）\ in q \ times \ gamma \ times \ {l，r \} $ $ t'$ 代表我们计划的事实写入 $ a $ 在当前磁带单元上，然后转换到state $ q $ ，然后移动由 $ m $ （请注意这是一个状态，不是过渡，我们只是跟踪我们未来的计划）。< / p>

替换每个转换 $（q，a）\ to（q'，b，m）$ $ t $ 在 $ t'$ ：

中的过渡

• $（q，a）\ to（（q'，b，m），\ gamma，s）$ ，和
• $（（q'，b，m），\ gamma）\ to（q'，b，m）$

直观地，这取代了符号 $ b $ 的写作，其中包含两个操作：1）我们写入 $ \ gamma $ 不移动头部，2）我们覆盖 $ \ gamma $ with $ b $ ，将头部移动到预期的方向 $ m $ ，并转换到相应的状态 $ q'$ $ t $ 。

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如果不允许“保持运动”，则是一个变化的Tm的TM的繁琐的Simulaton。 定义 $ \ gamma'=gamma \ cup \ {\ gamma_1，\ gamma_2 \} $ 和 $ q'= q \杯（q \ times \ gamma \ times \ {l，r \} \ times \ gamma'）$ 。 替换每个过渡 $（q，a）\ to（q'，b，m）$ $ t $ 在 $ t'$ ：

中，以下转换

• $（q，a）\ to（（q'，b，m，\ gamma_1），\ gamma_1，r）$ ，
• $（（q'，b，m，\ gamma_1），x）\ to（（q'，b，m，x），\ gamma_2，l）$ < / span> $ \ quad \ forall x \ in \ gamma $ ，
• $（（q'，b，m，x），\ gamma_1）\ to（（q'，b，m，x），\ gamma_2，r）$ < / span> $ \ quad \ forall x \ in \ gamma $ ，
• $（（q'，b，m，x），\ gamma_2）\ to（（q'，b，m，\ gamma_1），x，l）$ < / span> $ \ quad \ forall x \ in \ gamma $ ，
• $（（q'，b，m，\ gamma_1），\ gamma_2）\ to（q'，b，m）$

我们在做什么是以下内容：1）我们写 $ \ gamma_1 $ 并移动右移，2）我们存储当前磁带符号 $ x $ ，用 $ \ gamma_2 $ ，然后移动，3）我们替换磁带符号 $ \ gamma_1 $ 带 $ \ gamma_2 $ 和移动右，4）我们写下存储的类型符号 $ x $ 代替 $ \ gamma_2 $ 然后移动左，5）我们终于写入 $ B $ ，根据 $ m $ ，并转换到state $ q'$ 。