计算简单路径的平均长度的算法

Question

给定连接图和两个节点s和t，可以有许多不同的简单路径（没有循环）从s到t。是否有一种有效的算法来找到这些路径的平均长度？

Answer 1

我猜你已经知道，用于计算两个节点之间简单路径数的多项式算法将意味着p= np，这结果是由于valiant（枚举和可靠性问题的复杂性，1979）。

现在想象一下，期待发现一个矛盾，你可以计算多项式时间中的 $ \ text {avg}（g，u，v）$ 。

let $ g + l $ 是添加长度的简单路径 $ l $ 在<跨越类=“math-container”> $ u $ 和 $ v $ 中的 $ g $ 。此新路径由 $ l-1 $ 新节点，它不会干扰来自 $ u $ 到 $ v $ ，提供 $ l \ geq 2 $ 。

然后， $ \ text {avg}（g + 3，u，v） - \ text {avg}（g + 2，u，v）$ = $ 1 /（\＃\ text {paths}（g，u，v）+1）$ ，您可以从中获取 $ \＃\ text {paths}（g，u，v）$ 在多项式时间中。但我们知道这不能在多项式时间内完成这一矛盾。