Algorithmus zur Berechnung der durchschnittlichen Länge eines einfachen Pfads

Question

Bei einem angeschlossenen Diagramm und zwei Knoten S und T können viele verschiedene einfache Pfade (ohne Zyklen) von S bis T geben.Gibt es einen effizienten Algorithmus, um die durchschnittliche Länge dieser Wege zu finden?

Answer 1

Ich denke, Sie wissen bereits, dass ein Polynomalgorithmus zum Zählen der Anzahl von einfachen Pfaden zwischen zwei Knoten p= NP impliziert würde, dieses Ergebnis ist auf tapfer (Komplexität der Aufzählung und Zuverlässigkeitsprobleme, 1979).

Stellen Sie sich jetzt vor, um einen Widerspruch zu entdecken, dass Sie $ \ text {avg} (G, u, v) $ in der Polynomialzeit berechnen könnten.

lass $ g + l $ sein, um sich aus dem Hinzufügen eines einfachen Pfads der Länge $ L $ zwischen $ u $ und $ V $ in $ g $ . Dieser neue Pfad besteht aus $ L-1 $ neue Knoten und stört den vorherigen Pfad nicht von $ u $ an $ V $ , bereitgestellt $ l \ geq 2 $ .

dann $ \ text {avg} (g + 3, u, v) - \ text {avg} (g + 2, u, v) $ = $ 1 / (\ # \ Text {Pfade} (G, U, V) +1) $ , aus dem Sie $ \ # \ Text {Pfade} (g, u, v) $ in der Polynomzeit. Aber wir wissen, dass dies nicht erwartet werden kann, dass es bei der Polynomialzeit, einem Widerspruch erfolgt ist.