集合工会的组合

Question

我有一个set $ s={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $ 。 $ s_i \ subset s $ for $ i= {1,2,3,4,5} $ 。任何三个 $ s_i $ 具有相同的联盟，即 $ s_1 \杯S_2 \ CUP S_3= S_1 \ CUP S_2 \ CUP S_4= ...= S_3 \ CUP S_4 \ CUP S_5= $ and no $ s_i \ cup s_j= $ 。什么是词典最少的 $ s_i $ s？
我必须为此编写一个Python代码，我会感谢任何可以指示我找到解决方案的帮助。我应该知道能够在最短的时间内解决这个问题吗？此外，如果有更好的方法来制定这个问题，请留下我的建议。如果信息不够，我可以进一步澄清。

Answer 1

我了解问题，因为我们可以选择任何 $ s_i $ 满足这些条件。然后答案是 $ \ {0,1,2,3,4,5 \} $ 。施工在某种意义上是独一无二的。

wlog我们可以假设 $ s= $ （否则，只需删除 $ s $ ）。我将使用 $ a，b，c，d，e $ 而不是 $ s_i $ 。到达解决方案的一种方法是为 $ a，b，c $ 绘制一个venn图表，并考虑它：

我们可以对它说什么：

• $ a \ setminus（b \ cup c）\ ne \ imptyset $ 。否则<跨越类=“math-container”> $ b \ cup c= a \ cup b \ cup c= s $ 。同样，对于 $ b $ 和 $ c $ 。

• 对于 $ d $ 我们必须具有 $ a \ setminus（b \ cup c）\ subseteq d $ 。否则， $ b \ cup c \ cup d \ ne b \ cup c \ cup a= s $ 。同样，对于 $ b $ 和 $ c $ 。

• 对于 $ d $ 我们必须具有 $ a \ cap c \ setminus b \ not \ submeteq d $ 。否则（只看图表）， $$ b \ cup d= b \ cup（a \ setminus（b \ cup c））\ cup（c \ setminus（a \ cup b））\ cup（a \ cap c \ setminus b）= s $$

• 我们所说的 $ d $ 也适用于 $ e $ 。 IE。它必须包含对称差异，但不得包含 $ a \ cap c \ setminus b $ 和类似。

• 我们必须有 $ d \ cup e \ cup x= s $ for $ x= a， B，C $ 。因此， $ D \ Cup E \ Cup（A \ Cap B \ Cap C）= S $ 。特别是，这意味着 $ a \ cap b \ cap c \ not \ subseteq d \ cup e $ ，因为否则 $ d \ cup e= s $ 。

  还， $ s \ setminus（a \ cap b \ cap c）\ subseteq d \ cup e $ 。因此，忘记对称差异： $$（（a \ cap c）\ cup（a \ cap b）\ cup（b \ cup c））\ setminus（a \ cap b \ cap c）\ subseteq d \ cup e $$ 因此，而<跨度类=“math-container”> $ a \ cap c \ setMinus b $ 不属于 $ d $ 或 $ e $ ，它属于他们的联盟。

请注意，上述条件是必要的并且充分。将此放在一起：

• $ a \ setMinus（b \ cup c）$ 必须具有至少一个元素，该元素也属于 $ d $ 和 $ e $ 。 $ b，c $ 。
• $ a \ cap c \ setminus b $ 必须具有至少两个元素：一个属于 $ d $ < / span>，另一个属于 $ e $ 。其他成对交叉点也是如此。
• $ a \ cap b \ cap c $ 具有至少一个元素，它不属于 $ D $ 和 $ e $ 。

请注意，我们已经使用了 $ 10 $ 元素来自 $ s $ 。所有集合 $ a，..，e $ 具有 $ 6 $ 元素，所以我们只需选择其中一个待 $ s_1 $ ，并在集合中排列元素，以便 $ s_1={0，..，5 \ $