最大一对多匹配

Question

let $ g=（x + y，e）$ 是二角形图形和 $ k \ geq 1 $ 一个整数。 a maximum $ k $ -matching 是 $ e $ 中的子集它们的每个顶点 $ x $ 与大多数 $ k $ 边缘和 $ y $ 与大多数 $ 1 $ 边缘相邻。

最大-Charminality $ k $ - 可以通过以下算法找到：

• create $ k $ 每个顶点 $ x \ in x $ 中的副本，这样每副本与 $ x $ 中的所有邻居相邻， $ y $ 。
• 在得到的图表中找到最大匹配。

与 $ n $ 顶点和 $ m $ 边缘的图表的运行时复杂度使用Hopcroft-Karp算法，是 $ O（km \ sqrt {kn}）= o（k ^ {3/2} \ cdot m \ sqrt {n}）$ 。

我对以下替代算法感兴趣：

• 重复 $ k $ 时间：

  • 在 $ g $ 中找到最大匹配。
  • 从图表中删除 $ y $ 的匹配顶点。

其运行时复杂性是 $ o（k \ cdot m \ sqrt {n}）$ 。

但是这种算法总是找到最大 $ k $ - 幻灯片？

Answer 1

no。这是一个counterexample： $ x= {a，b \}，y={c，d，e，f \}，e={ac，广告，ae，be，bf \}，k= 2 $ 。您的算法的第一次迭代可以选择 $ \ {ae，bf \} $ （特别是边缘 $ ae $），即使存在一个确实存在： $ \ {ac，广告，bf \} $ 。

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