최대 일대일 매치

Question

$ g= (x + y, e) $ bipartite 그래프와 $ k \ geq 1 $ 정수. 최대 $ k $ - 일치 은 $ e $ 의 하위 집합입니다 $ x $ 의 각 vertex는 대부분의 $ k $ 모서리와 $ y $ 은 대부분의 $ 1 $ 가장자리에 인접합니다.

최대 카디널리티 $ k $ - 다음 알고리즘에서 찾을 수 있습니다.

• CREATE $ k $ x $ x $ x \ $ x \ \ $ x $ x \ 각 사본 $ x $ $ y $
에 인접합니다.
• 결과 그래프에서 최대 일치를 찾습니다.

$ n $ vertices 및 $ m $ 가장자리에 대한 런타임 복잡성 Hopcroft-karp 알고리즘을 사용하여 $ o (km \ sqrt {kn})= o (k ^ {3/2} \ cdot m \ sqrt {n}) $ .

나는 다음과 같은 대안 알고리즘에 관심이 있습니다 :

• 반복 $ k $ 시간 :

  • $ G $ 에서 최대 일치를 찾습니다.
  • 그래프에서 $ y $ 의 일치하는 정점을 제거하십시오.

런타임 복잡성은 $ o (k \ cdot m \ sqrt {n}) $ 입니다.

그러나이 알고리즘은 항상 최대 $ k $ - 매칭

를 찾습니다.

Answer 1

아니오.다음은 $ x= {a, b \}, y= {C, D, E, F \}, e={AC, 광고, AE,be, bf \}, k= 2 $ .알고리즘의 첫 번째 반복은 $ \ {AE, BF \} $ (특히 가장자리 $ AE $)를 선택할 수 있습니다.), $ \ {AC, 광고, BE, BF \} $ .