函数集的VC维度

Question

let $ \ chi $ 是一个实例空间和 $ h \ in \ {0，1 \} ^ \Chi $ 带有有限VC维度的类。对于每个 $ x \ in x $ 我们考虑 $ z_x \ colon h \ lettrarrow \ {0，1 \} $ st $ z_x（h）= h（x），\ forall h \以h $ 。

让 $ z={z_x：h \ lightarrow \ {0,1 \} \ mid x \ in \ chi \} $ 。是 $ \ mathit {vcdim}（z）<2 ^ {\ mathit {vcdim}（h）+1} $ ？

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在看到这一点时，唯一想到的是Sauer Lemma，但这与增长函数有关，我没有看到如何在这里申请。任何人都知道如何接近这个吗？

Answer 1

这是ssuouad（densitéet vilement ）关于< EM>双VC维度。

let $ a $ 是二进制矩阵。 $ a $ 的VC维度是set $ s $ 的最大大小，该列被破坏也就是说，当我们将 $ a $ 缩小到 $ s $ 中的列时，所有可能的行都出现了所有可能的行。 $ a $ 的双VC维度是 $ a ^ t $ ，转换的VC维度 $ a $ 。

假设 $ a ^ t $ 具有vc维度 $ 2 ^ {d + 1} $ 。然后有一个集合 $ s $ $ 2 ^ {d + 1} $ $ a $ 使得当我们将 $ a $ 映射到此一组时，我们会看到所有可能的列。如果我们使用长度的二进制数来编号行 $ d + 1 $ ，那么我们尤其看到以下列：对于每个 $ i $ ，有一个列包含 $ i $ 'th the行索引的列。例如，如果 $ d= 1 $ 那么我们会看到以下列： $$ \ begin {matrix} 0＆0＆0 \\ 0＆0＆1 \\ 0＆1＆0 \\ 0＆1＆1 \\ 1＆0＆0 \\ 1＆0＆1 \\ 1＆1＆0 \\ 1＆1和1 \结束{matrix} $$ 因此 $ a $ 的VC维度至少是 $ d + 1 $ 。

如果我们拍摄 $ d=mathrm {vc}（a）$ ，那么我们deveuce $ \ mathrm { Vc}（a ^ t）<2 ^ {\ mathrm {vc}（a）+1} $ 。