関数のセットのVC次元

Question

$ \ chi $ のインスタンススペースと $ h \ in \ {0,1 \} ^ \CHI $ 有限VC次元を持つクラス。 $ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ x \ colon "> $ z_x \ colon h \ ritarrow \ {0,1 \} $ セント $ Z_x（h）= h（x）、\ forall h \ in h $ 。

$ z={z_x：h \ resplary \ {0,1 \} \ mid x \ in \} $ 。 $ \ mathit {vcdim}（z）<2 ^ {\ mathit {vcdim}（h）+1} $ ？

---

これを見るときに気になる唯一のものは、Sauer leemmaですが、それは成長機能に関連していて、ここでそれを適用する方法はわかりません。誰もがこれをどのように近づくかについての考えを得ましたか？

Answer 1

これはAssouad（DensitéEetDimension ）についての古典的な結果です。 EM>デュアルVCディメンション。

$ A $ をバイナリ行列にします。 $ a $ のVC次元は、粉砕されている列のset $ s $ の最大サイズです。つまり、 $ A $ を $ s $ の列に制限すると、可能なすべての行が表示されます。 $ a $ のデュアルVC次元は、 $ a ^ t $ のVC次元、の転置です。 $ A $ 。

$ A ^ t $ には、VCディメンション $ 2 ^ {d + 1} $ があります。その後、 $ s $ のset $ A $ この行のこの行に $ $ を制限すると、可能なすべての列が表示されます。長さの長さ $ d + 1 $ のバイナリ数を使用して行に番号を付けてください。 $ i $ 、 $ i $ 'の行インデックスのビットを含む列があります。たとえば、 $ d= 1 $ の場合、次の列が表示されます。 $$ \ begin {matrix} 0＆0＆0 \\ 0＆0＆1 \\ 0＆1＆0 \\ 0＆1＆1 \\ 1＆0＆0 \\ 1＆0＆1 \\ 1＆1＆0 \\ 1＆1＆1 \ end {行列} $$ したがって、 $ A $ のVC次元は、少なくとも $ d + 1 $ です。

$ d=mathrm {vc}（a）$ を撮った場合、 $ \ mathrm { vc}（a ^ t）<2 ^ {\ mathrm {vc}（a）+ 1} $ 。