点间最短距离算法

Question

给定平面上的一组点，找到由这些点中的任意两个点形成的最短线段。

我怎样才能做到这一点？最简单的方法显然是计算每个距离，但我需要另一种算法来比较。

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points

该问题可以使用递归分治方法在 O(n log n) 时间内解决，例如如下：

• 沿 x 坐标对点进行排序
• 通过垂直线 x = xmid 将点集分成两个大小相等的子集
• 在左右子集中递归地解决问题。这将分别给出左侧和右侧最小距离 dLmin 和 dRmin。
• 求一对点之间的最小距离 dLRmin，其中一个点位于垂直分割线的左侧，第二个点位于垂直线的右侧。
• 最终的答案是 dLmin、dRmin 和 dLRmin 中的最小值。

Answer 2

我不能立即想到比蛮力技术更快的替代方法（虽然必须有很多）但是你选择的算法不计算每个点之间的距离。如果您需要比较距离，只需比较距离的正方形，以避免昂贵且完全冗余的平方根。

Answer 3

一种可能性是按X坐标对点进行排序（或者Y - 并不重要，只是一致）。然后，您可以使用它来消除与许多其他点的比较。当你看到点[i]和点[j]之间的距离时，如果单独的X距离大于你当前的最短距离，那么点[j + 1] ...点[N]可以被消除为好吧（假设i<j - 如果j<i，那么点[0] ......点[i]被淘汰了。）

如果您的点以极坐标开始，您可以使用相同的变体 - 按原点的距离排序，如果与原点的距离差异大于当前的最短距离，则可以消除那一点，以及与您目前正在考虑的原点相比距原点更近（或更接近原点）的所有其他原因。

Answer 4

您可以从 Delaunay三角测量中提取最接近的线性时间对，并从< a href =“http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram”rel =“nofollow noreferrer”> Voronoi图。

Answer 5

此问题有一个标准算法，您可以在这里找到它： http://www.cs.mcgill.ca/~cs251/ClosestPair/ ClosestPairPS.html

这是我对这个算法的实现，抱歉没有评论：

    static long distSq(Point a, Point b) {
    return ((long) (a.x - b.x) * (long) (a.x - b.x) + (long) (a.y - b.y) * (long) (a.y - b.y));
}

static long ccw(Point p1, Point p2, Point p3) {
    return (long) (p2.x - p1.x) * (long) (p3.y - p1.y) - (long) (p2.y - p1.y) * (long) (p3.x - p1.x);
}

static List<Point> convexHull(List<Point> P) {

    if (P.size() < 3) {
        //WTF
        return null;
    }

    int k = 0;

    for (int i = 0; i < P.size(); i++) {
        if (P.get(i).y < P.get(k).y || (P.get(i).y == P.get(k).y && P.get(i).x < P.get(k).x)) {
            k = i;
        }
    }

    Collections.swap(P, k, P.size() - 1);

    final Point o = P.get(P.size() - 1);
    P.remove(P.size() - 1);


    Collections.sort(P, new Comparator() {

        public int compare(Object o1, Object o2) {
            Point a = (Point) o1;
            Point b = (Point) o2;

            long t1 = (long) (a.y - o.y) * (long) (b.x - o.x) - (long) (a.x - o.x) * (long) (b.y - o.y);

            if (t1 == 0) {
                long tt = distSq(o, a);
                tt -= distSq(o, b);
                if (tt > 0) {
                    return 1;
                } else if (tt < 0) {
                    return -1;
                }
                return 0;

            }
            if (t1 < 0) {
                return -1;
            }
            return 1;

        }
    });



    List<Point> hull = new ArrayList<Point>();
    hull.add(o);
    hull.add(P.get(0));


    for (int i = 1; i < P.size(); i++) {
        while (hull.size() >= 2 &&
                ccw(hull.get(hull.size() - 2), hull.get(hull.size() - 1), P.get(i)) <= 0) {
            hull.remove(hull.size() - 1);
        }
        hull.add(P.get(i));
    }

    return hull;
}

static long nearestPoints(List<Point> P, int l, int r) {


    if (r - l == P.size()) {

        Collections.sort(P, new Comparator() {

            public int compare(Object o1, Object o2) {
                int t = ((Point) o1).x - ((Point) o2).x;
                if (t == 0) {
                    return ((Point) o1).y - ((Point) o2).y;
                }
                return t;
            }
        });
    }

    if (r - l <= 100) {
        long ret = distSq(P.get(l), P.get(l + 1));
        for (int i = l; i < r; i++) {
            for (int j = i + 1; j < r; j++) {
                ret = Math.min(ret, distSq(P.get(i), P.get(j)));
            }
        }
        return ret;

    }

    int c = (l + r) / 2;
    long lD = nearestPoints(P, l, c);
    long lR = nearestPoints(P, c + 1, r);
    long ret = Math.min(lD, lR);
    Set<Point> set = new TreeSet<Point>(new Comparator<Point>() {

        public int compare(Point o1, Point o2) {
            int t = o1.y - o2.y;
            if (t == 0) {
                return o1.x - o2.x;
            }
            return t;
        }
    });
    for (int i = l; i < r; i++) {
        set.add(P.get(i));
    }

    int x = P.get(c).x;

    double theta = Math.sqrt(ret);

    Point[] Q = set.toArray(new Point[0]);
    Point[] T = new Point[Q.length];
    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < Q.length; i++) {
        if (Q[i].x - x + 1 > theta) {
            continue;
        }
        T[pos++] = Q[i];
    }

    for (int i = 0; i < pos; i++) {
        for (int j = 1; j < 7 && i + j < pos; j++) {
            ret = Math.min(ret, distSq(T[i], T[j + i]));
        }
    }
    return ret;
}

Answer 6

根据您的问题，目前尚不清楚您是在寻找细分的距离还是细分本身。假设您正在寻找距离（一段简单的修改，一旦您知道哪个是距离最小的两个点），给定5个点，编号从1到5，您需要

compare 1 with 2,3,4,5, then 
compare 2, with 3,4,5, then 
compare 3 with 4,5, then 
compare 4 with 5.

如果我没有错，考虑到距离的可交换性，你不需要进行其他比较。 在python中，可能听起来像是

import numpy as np
def find_min_distance_of_a_cloud(cloud):
        """
        Given a cloud of points in the n-dim space, provides the minimal distance.
        :param cloud: list of nX1-d vectors, as ndarray.
        :return:
        """
        dist_min = None
        for i, p_i in enumerate(cloud[:-1]):
            new_dist_min = np.min([np.linalg.norm(p_i - p_j) for p_j in cloud[(i + 1):]])
            if dist_min is None or dist_min > new_dist_min:
                dist_min = new_dist_min

        return dist_min

可以使用以下代码测试：

from nose.tools import assert_equal

def test_find_min_distance_of_a_cloud_1pt():
    cloud = [np.array((1, 1, 1)), np.array((0, 0, 0))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(3))


def test_find_min_distance_of_a_cloud_5pt():
    cloud = [np.array((0, 0, 0)),
             np.array((1, 1, 0)),
             np.array((2, 1, 4)),
             np.array((3, 4, 4)),
             np.array((5, 3, 4))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(2))

如果两个以上的点可以具有相同的最小距离，并且您正在寻找段，则需要再次修改建议的代码，输出将是距离最小的点列表（或几个点） ）。希望它有所帮助！