A menor distância entre os pontos do algoritmo

Question

Dado um conjunto de pontos em um avião, encontre o segmento de linha mais curto formado por qualquer um desses pontos.

Como eu posso fazer isso? A maneira trivial é obviamente calcular cada distância, mas preciso de outro algoritmo para comparar.

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/closest_pair_of_points

O problema pode ser resolvido no tempo de O (n log n) usando a abordagem de divisão e conquista recursiva, por exemplo, da seguinte forma:

• Classificar pontos ao longo da coordenada X
• Divida o conjunto de pontos em dois subconjuntos de tamanho igual por uma linha vertical x = xmid
• Resolva o problema recursivamente nos subconjuntos esquerdo e direito. Isso dará às distâncias mínimas do lado esquerdo e do lado direito dlmin e drmin, respectivamente.
• Encontre a distância mínima dlrmin entre os pares em que um ponto fica à esquerda da vertical divisória e o segundo ponto está à direita.
• A resposta final é o mínimo entre dlmin, drmin e dlrmin.

Answer 2

Não consigo pensar imediatamente em uma alternativa mais rápida que a técnica de força bruta (embora deva haver muitas), mas qualquer algoritmo que você escolher não Calcule a distância entre cada ponto. Se você precisar comparar distâncias, basta comparar o quadrados das distâncias para evitar a raiz quadrada cara e totalmente redundante.

Answer 3

Uma possibilidade seria classificar os pontos por suas coordenadas X (ou o Y - não importa realmente qual, apenas seja consistente). Você pode usar isso para eliminar comparações com muitos dos outros pontos. Quando você está olhando para a distância entre o ponto [i] e o ponto [j], se a distância x sozinha for maior que a sua distância mais curta, então o ponto [j+1] ... o ponto [n] pode ser eliminado como bem (assumindo i<j -- E se j<i, então é o ponto [0] ... ponto [i] que é eliminado).

Se seus pontos começarem como coordenadas polares, você poderá usar uma variação da mesma coisa - classificar por distância da origem e se a diferença na distância da origem for maior que a sua distância mais curta, você poderá eliminar esse ponto, e todos os outros que estão mais longe (ou mais próximos da) da origem do que a que você está considerando atualmente.

Answer 4

Você pode extrair o par mais próximo em tempo linear do Delaunay triangulação e conversamente de Diagrama de Voronoi.

Answer 5

Existe um algoritmo padrão para esse problema, aqui você pode encontrá -lo:http://www.cs.mcgill.ca/~cs251/cloSestpair/closestpairps.html

E aqui está a minha implementação deste Algo, desculpe, sem comentários:

    static long distSq(Point a, Point b) {
    return ((long) (a.x - b.x) * (long) (a.x - b.x) + (long) (a.y - b.y) * (long) (a.y - b.y));
}

static long ccw(Point p1, Point p2, Point p3) {
    return (long) (p2.x - p1.x) * (long) (p3.y - p1.y) - (long) (p2.y - p1.y) * (long) (p3.x - p1.x);
}

static List<Point> convexHull(List<Point> P) {

    if (P.size() < 3) {
        //WTF
        return null;
    }

    int k = 0;

    for (int i = 0; i < P.size(); i++) {
        if (P.get(i).y < P.get(k).y || (P.get(i).y == P.get(k).y && P.get(i).x < P.get(k).x)) {
            k = i;
        }
    }

    Collections.swap(P, k, P.size() - 1);

    final Point o = P.get(P.size() - 1);
    P.remove(P.size() - 1);


    Collections.sort(P, new Comparator() {

        public int compare(Object o1, Object o2) {
            Point a = (Point) o1;
            Point b = (Point) o2;

            long t1 = (long) (a.y - o.y) * (long) (b.x - o.x) - (long) (a.x - o.x) * (long) (b.y - o.y);

            if (t1 == 0) {
                long tt = distSq(o, a);
                tt -= distSq(o, b);
                if (tt > 0) {
                    return 1;
                } else if (tt < 0) {
                    return -1;
                }
                return 0;

            }
            if (t1 < 0) {
                return -1;
            }
            return 1;

        }
    });



    List<Point> hull = new ArrayList<Point>();
    hull.add(o);
    hull.add(P.get(0));


    for (int i = 1; i < P.size(); i++) {
        while (hull.size() >= 2 &&
                ccw(hull.get(hull.size() - 2), hull.get(hull.size() - 1), P.get(i)) <= 0) {
            hull.remove(hull.size() - 1);
        }
        hull.add(P.get(i));
    }

    return hull;
}

static long nearestPoints(List<Point> P, int l, int r) {


    if (r - l == P.size()) {

        Collections.sort(P, new Comparator() {

            public int compare(Object o1, Object o2) {
                int t = ((Point) o1).x - ((Point) o2).x;
                if (t == 0) {
                    return ((Point) o1).y - ((Point) o2).y;
                }
                return t;
            }
        });
    }

    if (r - l <= 100) {
        long ret = distSq(P.get(l), P.get(l + 1));
        for (int i = l; i < r; i++) {
            for (int j = i + 1; j < r; j++) {
                ret = Math.min(ret, distSq(P.get(i), P.get(j)));
            }
        }
        return ret;

    }

    int c = (l + r) / 2;
    long lD = nearestPoints(P, l, c);
    long lR = nearestPoints(P, c + 1, r);
    long ret = Math.min(lD, lR);
    Set<Point> set = new TreeSet<Point>(new Comparator<Point>() {

        public int compare(Point o1, Point o2) {
            int t = o1.y - o2.y;
            if (t == 0) {
                return o1.x - o2.x;
            }
            return t;
        }
    });
    for (int i = l; i < r; i++) {
        set.add(P.get(i));
    }

    int x = P.get(c).x;

    double theta = Math.sqrt(ret);

    Point[] Q = set.toArray(new Point[0]);
    Point[] T = new Point[Q.length];
    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < Q.length; i++) {
        if (Q[i].x - x + 1 > theta) {
            continue;
        }
        T[pos++] = Q[i];
    }

    for (int i = 0; i < pos; i++) {
        for (int j = 1; j < 7 && i + j < pos; j++) {
            ret = Math.min(ret, distSq(T[i], T[j + i]));
        }
    }
    return ret;
}

Answer 6

Pela sua pergunta, não está claro se você está procurando a distância do segmento ou o próprio segmento. Supondo que você esteja procurando a distância (o segmento em uma simples modificação, depois de saber quais são os dois pontos cuja distância é mínima), dados 5 pontos, numerados de 1 a 5, você precisa

compare 1 with 2,3,4,5, then 
compare 2, with 3,4,5, then 
compare 3 with 4,5, then 
compare 4 with 5.

Se eu não estiver errado, dada a transferência da distância, você não precisa executar outras comparações. Em Python, pode parecer algo

import numpy as np
def find_min_distance_of_a_cloud(cloud):
        """
        Given a cloud of points in the n-dim space, provides the minimal distance.
        :param cloud: list of nX1-d vectors, as ndarray.
        :return:
        """
        dist_min = None
        for i, p_i in enumerate(cloud[:-1]):
            new_dist_min = np.min([np.linalg.norm(p_i - p_j) for p_j in cloud[(i + 1):]])
            if dist_min is None or dist_min > new_dist_min:
                dist_min = new_dist_min

        return dist_min

Que pode ser testado com algo como o seguinte código:

from nose.tools import assert_equal

def test_find_min_distance_of_a_cloud_1pt():
    cloud = [np.array((1, 1, 1)), np.array((0, 0, 0))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(3))


def test_find_min_distance_of_a_cloud_5pt():
    cloud = [np.array((0, 0, 0)),
             np.array((1, 1, 0)),
             np.array((2, 1, 4)),
             np.array((3, 4, 4)),
             np.array((5, 3, 4))]
    min_out = find_min_distance_of_a_cloud(cloud)
    assert_equal(min_out, np.sqrt(2))

Se mais de dois pontos puderem ter a mesma distância mínima e você estiver procurando os segmentos, precisará modificar novamente o código proposto, e a saída será a lista de pontos cuja distância é mínima (ou alguns pontos). Espero que ajude!