从成对距离集确定点

Question

给定点之间的距离矩阵是否存在用于确定具有这些距离的一组n维点的算法？ （或至少最小化错误）

有点像收费公路问题的n维版本。

我能想到的最好的就是使用多维缩放。

Answer 1

您使用多维缩放（MDS）处于正确的轨道上，但MDS对于大型数据集来说是不切实际的，因为它的时间复杂度是点数的二次方。您可能希望查看具有线性时间复杂度并且更适合索引的FastMap。参见：

  

Christos Faloutsos和King-Ip Lin：   <！> FastMap：一种快速算法   索引，数据挖掘和   传统与传统的可视化   多媒体数据集，在 Proc。   SIGMOD ，1995， doi：10.1145 / 223784.223812

Answer 2

你可以<！>“欺骗<！>”;并使用迭代数值方法。把所有的点都放在一些<！> quot; random <！>中;最初定位，然后循环通过它们，使它们按比例移动到所需的距离。这将更喜欢一些点，但在应用它们之前取平均值，然后应用平均值将消除此问题。这是一个O（n <！>＃178;）算法，但实现和理解起来非常简单。在下面的2-d示例中，错误是<！> lt; <！> lt; 10％，但如果给出的距离不切实际，它可能表现不佳。

C ++示例：

#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define DAMPING_FACTOR 0.99f

class point
{
public:
    float x;
    float y;
public:
    point() : x(0), y(0) {}
};

// symmetric matrix with distances
float matrix[5][5] =    {
                            { 0.0f, 4.5f, 1.5f, 2.0f, 4.0f },
                            { 4.5f, 0.0f, 4.0f, 3.0f, 3.5f },
                            { 1.5f, 4.0f, 0.0f, 1.0f, 5.0f },
                            { 2.0f, 3.0f, 1.0f, 0.0f, 4.5f },
                            { 4.0f, 3.5f, 5.0f, 4.5f, 0.0f }
                        };
int main(int argc, char** argv)
{
    point p[5];
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        p[i].x = (float)(rand()%100)*0.1f;
        p[i].y = (float)(rand()%100)*0.1f;
    }

    // do 1000 iterations
    float dx = 0.0f, dy = 0.0f, d = 0.0f;
    float xmoves[5], ymoves[5];

    for(unsigned int c = 0; c < 1000; ++c)
    {
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i) xmoves[i] = ymoves[i] = 0.0f;
        // iterate across each point x each point to work out the results of all of the constraints in the matrix
        // collect moves together which are slightly less than enough (DAMPING_FACTOR) to correct half the distance between each pair of points
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            if(i==j) continue;
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            d = sqrt(dx*dx + dy*dy);
            dx /= d;
            dy /= d;
            d = (d - matrix[i][j])*DAMPING_FACTOR*0.5f*0.2f;

            xmoves[i] -= d*dx;
            ymoves[i] -= d*dy;

            xmoves[j] += d*dx;
            ymoves[j] += d*dy;
        }

        // apply all at once
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        {
            p[i].x += xmoves[i];
            p[i].y += ymoves[i];
        }
    }

    // output results
    printf("Result:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", sqrt(dx*dx + dy*dy));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("\r\nDesired:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            printf("%f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Absolute difference:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", abs(sqrt(dx*dx + dy*dy) - matrix[i][j]));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Press any key to continue...");

    while(!_kbhit());

    return 0;
}

Answer 3

有一种算法可以在编程集体智慧中执行此操作，p 。 49，<！>“以二维方式查看数据<！>”，可以适用于n维。

嘿 - 这是多维缩放 - 所以我猜你是在正确的轨道上。

Answer 4

我无法编辑原文，因为我没有足够的代表，但我试图在这里重述这个问题。

OP具有输入NxN距离矩阵。他想创建一个N维坐标表示点的输出数组，其中每个点之间的距离存储在输入矩阵中。

请注意，在一般情况下，这是不可解决的：

假设我有一个像这样的矩阵

   A  B  C  
A  x  1  2  
B     x  0  
C        x  

A距离B的距离为1个单位（比如1米），A距离C为1米。但B和C位于同一位置。

在这种特殊情况下，最小误差总和为1米，并且有各种各样的解决方案可以实现这一结果