ペアワイズ距離のセットからポイントを決定する

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/182086

  •  05-07-2019
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質問

ポイント間の距離の行列が与えられた場合、これらの距離を持つn次元のポイントのセットを決定するアルゴリズムはありますか？ （または、少なくともエラーを最小限に抑えます）

ターンパイク問題のn次元バージョンのようなもの。

私が思いつくのは、多次元スケーリングを使用することです。

役に立ちましたか？

解決

多次元スケーリング（MDS）を使用して正しい軌道に乗っていますが、MDSは時間の複雑さがポイント数で2次であるため、大規模なデータセットには実用的ではありません。線形の時間の複雑さを持ち、インデックス作成により適したFastMapをご覧ください。参照：

  

Christos FaloutsosおよびKing-Ip Lin：   <！> quot; FastMap：の高速アルゴリズム   インデックス作成、データマイニング、   従来の視覚化    Procのマルチメディアデータセット。   SIGMOD 、1995、 doi：10.1145 / 223784.223812

他のヒント

<！> quot;チート<！> quot;これには反復数値法を使用します。すべてのポイントを取り、いくつかの<！> quot; random <！> quot;最初に配置してから、それらをループし、必要な距離に比例して互いから離れるように移動します。これはいくつかのポイントを優先しますが、それらを適用する前に移動の平均を取ると、平均を適用することでこの問題がなくなります。これはO（n <！>＃178;）アルゴリズムですが、実装と理解が非常に簡単です。以下の2次元の例では、エラーは<！> lt; <！> lt;です。 10％。ただし、指定された距離が非現実的である場合、それほどうまく動作しない場合があります。

C ++の例：

#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define DAMPING_FACTOR 0.99f

class point
{
public:
    float x;
    float y;
public:
    point() : x(0), y(0) {}
};

// symmetric matrix with distances
float matrix[5][5] =    {
                            { 0.0f, 4.5f, 1.5f, 2.0f, 4.0f },
                            { 4.5f, 0.0f, 4.0f, 3.0f, 3.5f },
                            { 1.5f, 4.0f, 0.0f, 1.0f, 5.0f },
                            { 2.0f, 3.0f, 1.0f, 0.0f, 4.5f },
                            { 4.0f, 3.5f, 5.0f, 4.5f, 0.0f }
                        };
int main(int argc, char** argv)
{
    point p[5];
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        p[i].x = (float)(rand()%100)*0.1f;
        p[i].y = (float)(rand()%100)*0.1f;
    }

    // do 1000 iterations
    float dx = 0.0f, dy = 0.0f, d = 0.0f;
    float xmoves[5], ymoves[5];

    for(unsigned int c = 0; c < 1000; ++c)
    {
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i) xmoves[i] = ymoves[i] = 0.0f;
        // iterate across each point x each point to work out the results of all of the constraints in the matrix
        // collect moves together which are slightly less than enough (DAMPING_FACTOR) to correct half the distance between each pair of points
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            if(i==j) continue;
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            d = sqrt(dx*dx + dy*dy);
            dx /= d;
            dy /= d;
            d = (d - matrix[i][j])*DAMPING_FACTOR*0.5f*0.2f;

            xmoves[i] -= d*dx;
            ymoves[i] -= d*dy;

            xmoves[j] += d*dx;
            ymoves[j] += d*dy;
        }

        // apply all at once
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        {
            p[i].x += xmoves[i];
            p[i].y += ymoves[i];
        }
    }

    // output results
    printf("Result:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", sqrt(dx*dx + dy*dy));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("\r\nDesired:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            printf("%f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Absolute difference:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", abs(sqrt(dx*dx + dy*dy) - matrix[i][j]));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Press any key to continue...");

    while(!_kbhit());

    return 0;
}

Collective Intelligenceのプログラミング、p 。 49、<！> quot; 2次元でのデータの表示<！> quot;。n次元に適合させることができます。

ちょっと-多次元のスケーリング-だから、あなたは正しい軌道に乗っていると思います。

担当者が不足しているため、オリジナルを編集することはできませんが、ここで問題を再現しようとしました。

OPには、距離の入力NxN行列があります。彼は、ポイントを表すN次元座標のサイズNの出力配列を作成したいと考えています。ここで、各ポイント間の距離は入力行列に格納されます。

これは一般的なケースでは解決できないことに注意してください：

このような行列があるとします

   A  B  C  
A  x  1  2  
B     x  0  
C        x

AはBから1ユニット（1メートル）離れており、AはCから1メートル離れています。ただし、BとCは同じ場所にあります。

この特定の場合、エラーの最小合計は1メートルであり、その結果を達成するさまざまなソリューションがあります

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