不使用任何函数计算e ^ x

Question

我们应该使用这种公式计算e ^ x：

e ^ x = 1 +（x ^ 1/1！）+（x ^ 2/2！）......

到目前为止我有这个代码：

while (result >= 1.0E-20 )
{
    power = power * input;
    factorial = factorial * counter;
    result = power / factorial;
    eValue += result;
    counter++;
    iterations++;
}

我现在的问题是，因为阶乘是长型的，我实际上不能存储大于20的数字！所以会发生什么，当程序到达那个点时，程序会输出有趣的数字。

正确的解决方案的X值最多为709，因此应输出e ^ 709：8.21840746155e + 307

该程序是用C ++编写的。

Answer 1

x ^ n和n！用n快速增长（分别呈指数级和超指数级）并很快溢出您使用的任何数据类型。另一方面，x ^ n / n！下降（最终），你可以在小的时候停下来。也就是说，使用x ^（n + 1）/（n + 1）的事实！ =（x ^ n / n！）*（x /（n + 1））。像这样，说：

term = 1.0;
for(n=1; term >= 1.0E-10; n++)
{
    eValue += term;
    term = term * x / n;
}

（代码直接输入此框，但我希望它可以正常工作。）

编辑：注意术语x ^ n / n！是，对于大x，增加一段时间然后减少。对于x = 709，它在降低到0之前上升到~1e + 306，这正好在double可以处理的范围内（term*x的范围是~1e308并且long double将其推过），但term = term / n * x工作正常。当然，您的最终结果 e ^x 比任何条款都要大，所以假设您使用的数据类型足以容纳结果，那么您将成为细

（对于x = 709，如果您使用<=>，则可以使用<=>，但它不适用于710.）

Answer 2

如果您将factorial的类型从long long更改为double，会发生什么？

Answer 3

我可以想到另一个解决方案。 设pow(e,x) = pow(10, m) * b其中b >=1和< 10，然后

m = trunc( x * log10(e) )

其中log10(e)是一个常数因素。

和

b = pow(e,x)/pow(10, m ) = pow(e,x)/pow(e,m/log10(e)) = pow (e,x-m/log10(e))

通过这个你得到：

z = x-m/log10(e)

将介于0到3之间，然后使用SreevartsR给出的b = pow(e,z)。

并且最终答案是

b是基数（有效数字），m是尾数（数量级）。

这比SreevartsR方法更快，你可能不需要使用高精度。

祝你好运。

这甚至适用于x小于0且负值较大的情况，在这种情况下，z将介于0到-3之间，这将比任何其他方法更快。

由于z是-3到3，如果你需要前20个有效数字，那么pow（e，z）表达式最多只能评估37个术语，因为3 ^ 37/37！ = ~3.2e-26。

Answer 4

您在此处介绍的是应用 Horner方案来计算多项式。