Grenzwahrscheinlichkeit, einen Baum zu erstellen
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29-09-2020 - |
Frage
Fixieren Sie einige endliche Grafik $ g= (v, e) $ , und einiger vertex $ x $ .
Angenommen, ich erwirtschaftete einen zufälligen Unterbaum von $ g $ der Größe $ n $ , enthaltend $ x $ wie folgt:
- .
- let $ T_0={x \} $ .
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für $ 0
i. Lassen Sie $ B_N $ Seien Sie der Set von Nachbarn von $ T_ {N-1} $ außerhalb von
$ T_ {n-1} $ . ii. Formular $ t_n $ von
- .
- probieren ein paar $ (x_n, y_n) \ in e (g) \ cap \ links (v (t_ {n-1}) \ mal b_n \ rechts) $ < / span>, mit Wahrscheinlichkeit $ q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ ,
- fügen Sie $ y_n $ auf $ V (T_ {N-1}) $ , und fügen Sie hinzu
$ (x_n, y_n) $ bis $ E (T_ {N-1}) $ . -
return $ t_n $ .
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Naiv, die Summe hat exponentiell-viele Begriffe, die den Versuch ausschließen, die Summe direkt zu bewerten.
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Andererseits ist dieses Problem auch hochstrukturiert (Bäume, Rekursion usw.), was möglicherweise darauf hindeutet, dass ein dynamischer Programmieransatz möglich wäre. Ich bin mir nicht sicher, wie man sich annähert.
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Zusammenarbeit wissen ich, wie man unvoreingenommene, nicht negative Schätzer von $ p (t_n | t_0= {{x \}) $ , berechnet Habe vernünftige Varianzeigenschaften, indem Techniken von der sequentiellen Monte-Carlo / Partikelfilterung verwendet werden. Dies deutet darauf hin, dass das Problem zumindest möglich ist, sich in annäherbarer Zeit gut anzunähern.
Angenommen, auch, dass $ q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ einfach für alle $ (T_ {N-1}, x_n, y_n) $ . Ich interessiere mich für effizient und genau berechnen die Randwahrscheinlichkeit, den Baum $ T_N $ zu erstellen, da ich anfang, dass ich es bei wächst $ T_0={x \} $ , dh
$$ P (t_n | t_0={x \})=sum_ {x_ {1: n}, y_ {1: n}} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}). $$
Meine Frage ist im Wesentlichen, ob ich erwarten sollte, einen effizienten Algorithm (d. H. Polynomialzeit), und wenn ja, was es sein könnte.
Einige Gedanken:
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Lösung
nein. Wenn $ q (x_n, y_n | t_ {n-1}) $ willkürlich ist, kann es eine beliebige Abhängigkeit von $ T_ {n-1} $ - Dann erfordert dies eine exponentielle Zeit.
Betrachten Sie einen Baum in Betracht, $ T_N $ Das verfügt über einen einzelnen Stammknoten, $ n-1 $ Blätter und eine Kante von der Wurzel zu jedem Blatt. Es gibt $ 2 ^ N $ Teilbänder von $ t_n $ , und insbesondere gibt es $ 2 ^ N $ Mögliche Werte von $ t_n $ , die im Ausdruck auftreten können
$$ \ sum_ {x, y} \ prod_ {n= 1} ^ n q_n (x_n, y_n | t_ {n-1}). $$
Man kann ein einfaches Gegner-Argument verwenden, um zu beweisen, dass die Bewertung dieses Ausdrucks eine exponentielle Zeit erfordert. Angenommen, wir bewerten $ q_n (x_n, x_n | T_ {N-1}) $ , indem Sie ein Oracle mit $ X_N abfragen , y_n, t_ {n-1} $ . Angenommen, es gibt einen einzelnen Baum $ T $ , der niemals auf das Oracle als beliebiger
Abschließend beweist dieses Argument, dass jeder korrekte Algorithmus zum Berechnen dieses Ausdrucks
Ich weiß nicht, ob es immer in $ O (2 ^ n) $ Time oder ob vielleicht $ O (n!) $ Die Zeit ist möglicherweise erforderlich.