Sprachen in $ \ mathsf {Core} \ setminus \ mathsf {r} $ Turing-Maschinen?

Question

Was können wir über Sprachen in $ \ Mathsf {Core} \ setminus \ mathsf {r} $ ?Gibt es Turing-Maschinen für diese Sprachen?

Ich weiß, dass $ \ Overline {HP} \ in \ mathsf {CORE} $ keine Turing-Maschine hat, und auch dass die ganze Sprache dies tunhaben Turing-Maschinen in $ \ Mathsf {RE} $ , so dass für jede Sprache, die sich in $ \ befindetMathSF {Core} \ setminus \ mathsf {r} $ Es gibt keine Turing-Maschine?Ich frage mich, warum das so ist, kann jemand aufwendig sein?

Answer 1

Wir können auf verschiedene Weise eine Sprache zu einer Turingmaschine verknüpfen.

Wenn sich die Turingmaschine an allen Eingängen anhält, besteht die angenommene Sprache akzeptiert von der Turniermaschine aus allen Wörtern, die dazu führen, dass die Turiermaschine in einem akzeptierenden Zustand hält. Die Klasse $ \ Mathsf {R} $ besteht aus allen Sprachen, die von etwas Turiermaschine akzeptiert werden.

Für eine beliebige Turierungsmaschine, die Sprache erkannt von der Turing-Maschine aus allen Wörtern, die dazu führen, dass die Turiermaschine (in jedem Zustand) hält. Die Klasse $ \ mathsf {RE} $ besteht aus allen Sprachen, die von etwas Turiermaschine erkannt werden.

wenn $ l \ in \ mathsf {Core} \ setminus \ mathsf {r} $ , dann insbesondere $ L \ NOTIN \ MATHSF {R} $ , und daher akzeptiert keine Turing-Maschine $ L $ . Wenn $ L $ von etwas Turiergerät erkannt wurde, dann $ l \ in \ mathsf {RE} $ . Dies ist jedoch nicht möglich, da dann $ l \ in \ mathsf {RE} \ cap \ mathsf {core}=mathsf {r} $ .

Answer 2

Lassen Sie mich auf den ersten Satz von Yuval Filmus-Antwort erweitern:

Wir können auf verschiedene Weise eine Sprache zu einer Turingmaschine verknüpfen.

yuval erwähnt zwei: akzeptieren (das kennzeichnet $ \ mathsf {r} $ ) und erkannt ( Welches kennzeichnete $ \ mathsf {re} $ ). Es gibt jedoch andere. Am offensichtlichsten könnten wir "Co-Recognition" in Betracht ziehen - sagen, dass eine Turing-Maschine $ M $ "Co-erkennt" eine Sprache $ L $ Wenn die Zeichenfolgen in $ L $ genau die Zeichenfolgen, auf denen $ M $ macht nicht halt. Natürlich charakterisiert Co-Recognition $ \ mathsf {Core} $ .

das ist jedoch ein bisschen unnatürlich. Meiner Meinung nach viel natürlicher ist der Vorstellung von Rechenfähigkeit . In Bezug auf natürliche Zahl für die Einfachheit halber formuliert, ist dies der folgende:

a function $ F: \ mathbb {n} \ rightarrow \ mathbb {n} $ ist limitcructable iFF Es gibt einen berechenbaren Funktion $ h: \ mathbb {n} ^ 2 \ RightArrow \ mathbb {n} $ so, dass $$ f (x )=lim_ {s \ rightarrow \ fly} h (x, s), $$ oder genauer derart, dass für alle $ x $ vorhanden ist einige $ n $ so, dass für alle $ s> n $ wir haben $ h (x, s)= f (x) $ .

a set $ x $ ist limit cutable, Mittlerweile, iFF gibt es einige Rechenübergreifende Funktion $ F $ so, dass $ x={i: f (i)= 1 \} $ . (Es gibt viele andere gleichwertige Formulierungen davon.)

Es stellt sich heraus, dass die Relationsberechtigungsfähigkeit eine sehr schöne alternative Charakterisierung hat:

(shoenfield) a function $ f $ ist limit cutable ifef itf er ist berechtigt relativ zu das Haltingproblem $ \ EleseSet '$ .

(und über post Wir erhalten eine weitere Charakterisierung in Bezug auf "Definitionskomplexität. ")

Natürlich beinhaltet dies sowohl $ \ mathsf {RE} $ und $ \ mathsf {Core} $ und vieles mehr außer: Es gibt Sätze, relativ zum Anhalten des Anhaltensproblems, das nicht in $ \ Mathsf {RE} $ nicht äquivalent arbeitet. (Das ist schwer zu beweisen!)

und es gibt noch mehr Möglichkeiten, Sätze Sprachen zuzuordnen; Zum Beispiel können wir über "Limit-Erkenntnissen" sprechen (die Berechtigungsfähigkeit als Anerkennungsfähigkeit einschränken soll, ist die Annahme), was uns das $ \ Sigma ^ 0_2 $ Sprachen.