在$ \ mathsf {core} \ setminus \ mathsf {r} $中做语言吗？

Question

我们可以在 $ \ mathsf {core} \ setminus \ mathsf {r} $ 中？有这些语言的机器吗？

我知道 $ \ overline {hp} \ in \ mathsf {core} $ 没有图定机器，也是那种做的所有语言具有图灵机在 $ \ mathsf {re} $ 中，因此对于 $ \的任何语言，它是真的。mathsf {core} \ setminus \ mathsf {r} $ 没有一个图定机器？我想知道为什么这么做，有人可以详细说明吗？

Answer 1

我们可以通过多种方式将语言与图灵机相关联。

如果图定型机会在所有输入上停止，则所接受的语言由图灵机接受，包括所有单词，导致图灵机在接受状态下停止。类 $ \ mathsf {r} $ 由某些图定机器接受的所有语言组成。

对于任意图灵机，图灵机的语言识别由所有导致图灵机停止的所有单词（在任何状态下）。 class $ \ mathsf {re} $ 由某些图定机器识别的所有语言组成。

如果 $ l \ in \ mathsf {core} \ setminus \ mathsf {r} $ ，那么特别是 $ l \ notin \ mathsf {r} $ ，因此无图形机接受 $ l $ 。如果 $ l $ 由某些图定计算机识别，则 $ l \ In \ mathsf {re} $ 。但是，这是不可能的，从那以后 $ l \ in \ mathsf {re} \ cap \ mathsf {core}=mathsf {r} $ 。

Answer 2

让我在Yuval filmus的第一个句子上扩展：

我们可以通过多种方式将语言与图灵机相关联。

Yuval提及二：接受（表征 $ \ mathsf {r} $ ）和识别（其特征在于 $ \ mathsf {re} $ ）。然而，还有其他人。最明显，我们可以考虑“共识” - 说一个图灵机 $ m $ “co-识别”语言 $ l $ 如果 $ l $ 究竟是其中 $ m $ NOT 停止。当然，Co-识别表征<跨度类=“math-container”> $ \ mathsf {core} $ 。

然而，这有点不自然。在我看来中的概念更自然是 limit computicability 。为简单起见，在自然数字方面，这是以下内容：

一个函数 $ f：\ mathbb {n} \ lightarrow \ mathbb {n} $ 是 limit computable iff有一个可计算功能 $ h：\ mathbb {n} ^ 2 \ lightarrow \ mathbb {n} $ 这样 $$ f（x ）=lim_ {s \ lightarrow \ infty} h（x，s），$$ 或更精确地为所有 $ x $ 有一些 $ n $ 这样的所有 $ s> n $ 我们有 $ h（x，s）= f（x）$ 。

a set $ x $ 是限制可计算的，同时，IFF有一些限制可计算函数 $ f $ 使 $ x= {i：f（i）= 1 \} $ 。 （有许多其他等同的配方。）

事实证明，限制计算性具有非常好的替代表征：

（shoenfield）一个函数 $ f $ 是limit computably iff它是computable 相对于停止问题 $ \ imptyset' $ 。

（通过 post 我们在“定义复杂性”方面得到了另一个特征。 “）

当然，这包括 $ \ mathsf {re} $ 和 $ \ mathsf {core} $ $ \ mathsf {re} $ 中的任何设置不等效的暂停问题，有相对于暂停的问题。 （这很难证明！）

并且还有更多的方法来分配要设置的语言;例如，我们可以讨论“限制识别性”（这是将可计算性限制为识别性是接受），这为我们提供了 $ \ sigma ^ 0_2 $ 语言。