Necesitas quitar vector<string> fullSequence, sequenceNames;
en el vacío Sequence::fastaRead
función. Cuando define esas variables dentro de esa función y las usa, no está accediendo a las de la clase que tienen el mismo nombre, está accediendo a las variables locales que ha definido en esa función, a menos que las prepense con this->
mientras accede.
Las variables en la clase están realmente vacías y obtienes una falla de segmentación.