Comunicación Comunicación para distribuciones de productos.

Question

En general para el problema de la disgusión (de dos partes) establecidos para las entradas de longitud n, sabemos que las partes deben comunicarse $ \ omega (n) $ . Sorprendentemente, hoy descubrí (si entiendo correctamente) que esto no es cierto para las distribuciones de productos, es decir, ¿cuando las entradas de Alicia y Bob se eligen independientemente de las distribuciones arbitrarias? En este papel , por ejemplo, proporcionan un límite superior con complejidad de comunicación $ \ mathcal {O} (\ sqrt {n} \ log (1 / \ epsilon)) $ , donde $ \ epsilon $ Es un término de error no relevante para la pregunta aquí. Ahora tengo curiosidad por si existen las brechas para otros problemas de complejidad de comunicación conocidos.

Pregunta: Lo que otros problemas conocidos exhiben una brecha entre las complejidades de comunicación cuando se considera distribuciones de insumos arbitrarios y distribuciones de productos. ¿Hay resultados similares para productos o intersecciones interiores?

Answer 1

Configurar la disyección es más fácil para las distribuciones del producto, ya que la distribución dura para la disgitación establecida está muy lejos de ser una distribución de productos. ¿Qué necesitamos de una distribución dura $ (x, y) $ para el producto interno? Queremos cada uno de $ x, y $ por separado para ser bastante aleatorio, y queremos $ x \ cdot y $ Para ser mayormente cero, digamos $ x \ cdot y $ contiene como máximo un solo $ 1 $ . Esto no se puede lograr mediante una distribución de productos. Si bien puede obtener el $ x \ cdot y $ propiedad, esto implica que cada una de las dos entradas será muy sesgada. A la inversa, si las entradas $ x, y $ son bastante aleatorias, luego $ x \ cdot y $ will Tener muchos $ 1 $ s.

La función del producto interno no sufre del mismo problema. De hecho, parece que la distribución más difícil es la distribución uniforme. Puede probar un límite inferior lineal con el método de discrepancia: esto es estándar, y utiliza un límite en la discrepancia conocida como LEMMA LEMMA .

Sherstov se le ocurrió un ejemplo óptimo de brecha en su papel Complejidad de comunicación bajo distribuciones de productos y no productos (/a>. Su función es una función aleatoria, elegida para que no haya una gran cantidad monocromática $ 1 $ -Rectangles. El resultado final es una función cuya complejidad de comunicación aleatorizada es $ \ omega (n) $ , pero para cualquier distribución de productos, la complejidad de comunicación aleatorizada es $ o (1) $ .