Коммуникационная сложность для распределений продукта

Question

В общем для (двухсторонней) установить проблему беспокоительной проблемы для входов длины n, мы знаем, что стороны должны общаться $ \ Omega (n) $ Отказ Удивительно, сегодня я обнаружил (если я правильно понял), что это не относится к распределениям продукта, то есть, когда входы Алисы и Боба выбираются независимо от произвольных распределений! В этом Бумага , например, они обеспечивают верхнюю границу с коммуникационной сложностью $ \ mathcal {o} (\ sqrt {n} \ log (1 / \ epsilon)) $ , где $ \ epsilon $ Это некоторое количество ошибок не актуально для вопроса здесь. Теперь мне интересно, существуют ли пробелы для других хорошо известных проблем со сложности связи.

<Сильный> Вопрос: Какие другие известные проблемы демонстрируют разрыв между коммуникационными слоями, когда каждый учитывает произвольные входные распределения и распределения продукции. Есть похожие результаты для внутренних продуктов или пересечений?

Answer 1

Установите неразмерность легче для распределений продукта, поскольку жесткое распределение для распределения набора очень далеко от распределения продукта. Что нам требуется из жесткого распределения $ (x, y) $ для внутреннего продукта? Мы хотим каждый из $ x, y $ отдельно, чтобы быть довольно случайным, и мы хотим $ x \ cdot y $ Быть в основном ноль, скажем, $ x \ cdot y $ содержит не более одного $ 1 $ . Это не может быть достигнуто распределением продукта. Хотя вы можете получить $ x \ cdot y $ свойство, это подразумевает, что каждый из двух входов будет очень предвзятым. И наоборот, если входы $ x, y $ довольно случайные, то $ x \ cdot y $ иметь много $ 1 $ S.

Внутренняя функция продукта не страдает от того же вопроса. Действительно, кажется, что самое трудное распределение является равномерным распределением. Вы можете доказать линейную нижнюю границу с использованием метода несоответствия - это стандартное и использует границу расхождения, известного как Лемма Линдси .

Шестов придумал оптимальный пример зазора в своей статье Коммуникационная сложность под продуктом и непродуктивными распределениями . Его функция - это случайная функция, выбранная таким образом, чтобы не было большого монохроматического $ 1 $ -Rectangles. Конечный результат - это функция, чья рандомизированная коммуникационная сложность составляет $ \ Omega (n) $ , но для любого распределения продукта, рандомизированная коммуникационная сложность $ o (1) $ .