Complexité de la communication pour les distributions de produits

Question

En général pour le problème de disjoint (à deux) défini sur les intrants de longueur N, nous savons que les parties doivent communiquer $ \ omega (n) $ . Étonnamment, j'ai découvert aujourd'hui (si j'ai bien compris) que ce n'est pas vrai pour les distributions de produits, c'est-à-dire lorsque les contributions d'Alice et de Bob sont choisies de manière indépendante des distributions arbitraires! Dans ce papier , par exemple, ils fournissent une limite supérieure avec une complexité de communication $ \ mathcal {o} (\ sqrt {n} \ journal (1 / \ epsilon)) $ , où $ \ epsilon $ Est-ce qu'un terme d'erreur n'est pas pertinent pour la question ici. Maintenant, je suis curieux de savoir si les lacunes existent pour d'autres problèmes de complexité de communication bien connus.

Question: Quels autres problèmes bien connus exposent un écart entre la complexité de la communication lorsque l'on considère les distributions d'entrée arbitraires et les distributions de produits. Y a-t-il des résultats similaires pour les produits intérieurs ou les intersections?

Answer 1

Définir la disjointure est plus facile pour les distributions de produits car la distribution difficile pour la disjointure définie est très loin d'être une distribution de produit. Que demandons-nous d'une distribution difficile $ (x, y) $ pour le produit intérieur? Nous voulons chacun de $ x, y $ séparément pour être assez aléatoire, et nous voulons $ x \ CDOT y $ Pour être surtout zéro, disons $ x \ CDOT y $ contient au plus une seule $ 1 $ . Cela ne peut être accompli par une distribution de produit. Bien que vous puissiez obtenir le $ x \ CDOT y $ propriété, cela implique que chacune des deux entrées sera très biaisée. Inversement, si les entrées x, y $ sont assez aléatoires, alors $ x \ CDOT y $ avoir beaucoup 1 $ $ s.

La fonction de produit intérieur ne souffre pas du même problème. En effet, il semble que la distribution la plus difficile soit la distribution uniforme. Vous pouvez prouver une liaison inférieure linéaire à l'aide de la méthode de divergence - ceci est standard et utilise une liaison sur la divergence appelée lindsey's lemma .

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SHERSTOV est proposé un exemple optimal d'espace dans son papier Complexité de la communication sous des distributions de produits et non producteurs . Sa fonction est une fonction aléatoire, choisie de sorte qu'il n'y ait pas de grosse classe monochromatique 1 $ $ -rectangles. Le résultat final est une fonction dont la complexité de la communication randomisée est $ \ oméga (n) $ , mais pour toute distribution de produit, la complexité de la communication randomisée est $ o (1) $ .