Definir una función para un círculo limita el final de un segmento de línea

Question

necesito una función que devuelve puntos en un círculo en tres dimensiones.

El círculo debe "cap" un segmento de línea definido por los puntos A y B y de radio. cada tapa es perpendicular al segmento de línea. y centrado en uno de los puntos finales.

Este es un diagrama de mierda

Answer 1

Sea n el vector unitario en la dirección de A a B, es decir, N = (B-A) / longitud (A-B). El primer paso es encontrar dos vectores más de X e Y tal que {N, X, Y} forman una base. Esto significa que quiere dos vectores más de modo que todos los pares de {N, X, Y} son perpendiculares entre sí y también para que todos ellos son vectores unitarios. Otra forma de pensar acerca de esto es que desea crear un nuevo sistema de coordenadas cuyo eje X se alinea con el segmento de línea. Es necesario encontrar vectores que apuntan en la dirección del eje Y y el eje z.

Tenga en cuenta que hay un número infinito de opciones para X e Y. Sólo tiene que encontrar alguna manera de que dos de trabajo.

Una forma de hacer esto es primeros vectores descubrimiento {N, W, V} donde N es desde arriba y W y V son dos de (1,0,0), (0,1,0), y ( 0,0,1). Recoger los dos vectores de W y V que se corresponden con las cotas más pequeñas de N. Así que si N = (0.31, 0.95, 0), entonces tienes que elegir (1,0,0) y (0,0,1) para W y V. (Matemáticas friki nota: Esta manera de recoger W y V asegura que {N, W, V} vanos R ^ 3). A continuación, se aplica la proceso de Gram-Schmidt a {N, W, V } para obtener vectores {N, X, Y} como anteriormente. Tenga en cuenta que lo que necesita el vector N que es el primer vector de modo que no se ve modificado por el proceso.

Así que ahora tiene dos vectores que son perpendiculares al segmento de línea y perpendiculares entre sí. Esto significa que los puntos en el círculo alrededor de A son X * cos t + Y * sin donde 0 <= t <2 * pi t + A. Esto es exactamente igual que la descripción habitual de un círculo en dos dimensiones; que sólo está escrito en el nuevo sistema de coordenadas se ha descrito anteriormente.

Answer 2

Como David Norman señaló el punto crucial es encontrar dos vectores unitarios ortogonales X, Y que son ortogonales a N. Sin embargo creo que una manera más sencilla para calcular estos es mediante la búsqueda de la familia Q reflexión que mapea N a un múltiplo de (1 , 0,0) y luego tomar como X la imagen de (0,1,0) bajo Q e y como la imagen de (0,0,1) bajo Q. Mientras que este sonido fuerzas complicado que se reduce a:

s = (N [0]> 0,0)? 1,0: -1,0

t = N [0] + s; f = -1,0 / (s * t);

X [0] = f * N [1] * t; X [1] = 1 + f * N [1] * N [1]; X [2] = f * N [1] * N [2];

Y [0] = f * N [2] * t; Y [1] = f * N [1] * N [2]; Y [2] = 1 + f * N [2] * N [2];