Une réduction polynomiale de tout problème NP-complet au PCP limitée

Question

Les manuels supposent partout que le Borné Publier Correspondance problème est NP-complet (pas plus de $ N indices $ permis avec des répétitions). Cependant, nulle part est une montre simple (comme dans quelque chose qu'un étudiant de premier cycle peut comprendre) la réduction du temps polynomiale d'un autre problème NP-complet.

Cependant, chaque réduction, je peux penser est exponentielle (par $ N $ ou par la taille de la série) en exécution. Peut-être que l'on peut montrer qu'il est réductible à SAT?

Answer 1

Comme cela est souvent le cas avec NP-réduction, il est logique de chercher similaires problèmes . En particulier, il est difficile d'encoder des conditions globales telles a « ont vu certains nœuds » dans le PCP (avec polynomiale de tuiles) qui contre représenter graphiquement les problèmes, les problèmes d'emballage nous obligerait à coder les nombres unaires dans le PCP (création par exemple de façon exponentielle grande), et bientôt. Par conséquent, on peut s'attendre un problème de chaîne avec seulement des restrictions locales au travail le mieux.

Considérons la version de décision du le plus court problème supersequence commun :

  

Étant donné deux chaînes $ a, b \ in \ Sigma ^ + $ avec $ | a | = n $ et $ | b | = m $ et $ k \ in \ mathbb {N} $, décider s'il y a un string $ c \ in \ Sigma ^ + $ avec $ | c | \ Leq k $ tel que $ sont un $ $ et $ b $ c sousséquences $.

L'idée est de laisser le PCP construire supersequences d'un $ $ et $ b $ de gauche à droite, le codage dans les carreaux de les chevauchements à quelle position nous sommes en $ par respectivement $ et $ b $,. Il utilisera une tuile par symbole $ c $, donc $ k correspond de $ à limite de l'PCPE: si nous pouvons résoudre ce PCP avec $ \ leq k tuiles $, vous pouvez lire la supersequence commune de longueur égale, et vice versa .

La construction des tuiles est une tâche fastidieuse de peu, mais tout à fait clair. Notez que nous ne créerons pas des tuiles qui ne sont pas en avant $ a $ ou $ b $; tel ne peut jamais faire partie d'un le plus court supersequence commun, ils sont donc superflus. Ils peuvent facilement être ajoutés sans casser les propriétés de la réduction.

Les nombres dans les chevauchements sont codés en binaire, mais en utilisant des symboles à l'extérieur de $ \ Sigma $ et leur espacement à une longueur commune $ \ log \ max (m, n) $. Ainsi, nous nous assurons que les tuiles sont utilisés comme graphiques suggèrent (tetris), qui est des caractères et des chevauchements codant pour l'index ne se mélangent pas (PCP ne l'empêche pas en soi). Nous avons besoin:

• tuiles de départ:. $ c $ peut commencer avec $ A_1 $, $ B_1 $ ou les deux si elles sont égales
• : tuiles intermédiaires. $ c $ peut procéder au prochain symbole $ a $, $ b $ ou les deux si elles sont égales
• tuiles Finalisation: $ c termine $ avec le dernier symbole de $ a $ (si le dernier de $ b $ a été déjà vu), similaire pour $ b $, ou avec le dernier symbole des deux.

Ce sont les schémas de tuiles. Notez que les tuiles intermédiaires doivent être instancié pour toutes les paires $ (i, j) \ in [n] \ fois [m] $. Comme mentionné ci-dessus, créez les tuiles sans $ * $ seulement si les caractères respectifs de $ a et $ b $ correspondance.

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Le $ * $ sont symboliques pour « ne se soucient pas »; dans les carreaux réels, l'autre symbole devra y être copié. On notera que le nombre de tuiles est en $ \ Theta (mn) $ et chaque tuile a une longueur de 4 $ \ log \ max (m, n) + 1 $, de sorte que l'instance BPCP construite (sur alphabet $ \ Sigma \ cup \ {0 , 1 \} symboles $ plus séparation) a une taille polynomiale. En outre, la construction de chaque tuile est clairement possible dans le temps polynomiale. Par conséquent, la réduction proposée est en effet une transformation polynomiale valide qui réduit le problème le plus court supersequence commun NP-complet à PCPE.

Answer 2

Je pense que vous pouvez prouver que PCPE est NP-complet en utilisant une réduction similaire à celui utilisé pour prouver son indécidabilité. Nous allons prouver directement que PCPE est NP-complet en montrant comment réduire tout problème dans NP en temps polynomial.

La réduction standard utilisée pour prouver que le PCP est indécidable ( esquissée ici ) fonctionne en construisant une série de tuiles tel qu'il existe une solution de PCP ssi il existe un calcul acceptant d'un TM $ M $ donnée sur une chaîne $ w $. Le nombre de tuiles créées dans cette réduction est polynomiale importante - en particulier, le nombre de dominos construits est une fonction de la taille de l'alphabet de bande et le nombre d'états dans le TM. Le seul domino dont la taille peut être importante est le domino initial, qui a $ w $ par écrit sur elle. Si on généralise cette réduction de travailler sur déterministes à travailler TMs sur les mémoires de traduction non déterministes, cela introduit au plus un nombre constant de dominos, puisque le nombre de transitions est finie. Par conséquent, nous pouvons construire l'ensemble standard de dominos pour la réduction de indécidabilité normale en temps polynomial.

Compte tenu de cela, nous pouvons réduire tout problème NP à PCPE comme suit: - compte tenu de tout problème NP, il a un certain temps polynomiale $ M $ MFO qui fonctionne en temps $ p (n) $. On peut alors réduire ce problème à PCPE en temps polynomial comme suit: - construire l'ensemble standard de dominos de $ M $, alors se demander s'il y a une solution qui utilise $ f (p (n)) $ Dominos, où est $ f $ une fonction polynomiale qui exprime le nombre de dominos nécessaires à la solution exister (ce qui est probablement quelque chose comme n $ ^ 2 $, et est certainement pas exponentielle). Puis, en utilisant la même preuve que vous utilisez pour montrer que le PCP est indécidable, vous pouvez prouver qu'il ya une solution à cette instance PCPE que les utilisations au plus f $ (p (n)) $ tuiles ssi M $ accepte $ MFO originale $ m $ dans les $ p (n) $ étapes. Par conséquent, nous avons une réduction polynomiale de tous les problèmes de NP à PCPE, donc PCPE est NP-dur.

(Nous devons aussi montrer que PCPE est dans NP, mais qui est facile, il suffit de deviner qui Dominos non déterministe de mettre en ordre, puis vérifier qu'il déterministe).

Hope this helps!