NP完全な問題から境界のあるPCPへの多項式の減少

Question

どこでも教科書はそれを想定しています 跳ねる 対応の問題を投稿します NPが完全です（繰り返しで許可される$ n $インデックス以下）。ただし、別のNP不完全な問題から多項式時間の短縮された単純な（学部のように、学部のように理解できる）を示す場所はどこにもありません。

ただし、私が考えることができるすべての削減は、実行時の指数（$ n $またはシリーズのサイズによる）です。おそらく、座ることが削減可能であることを示すことができますか？

Answer 1

np削減の場合によくあるように、探すのは理にかなっています 似ている 問題。特に、グラフの問題を禁じているPCP（多項式的に多くのタイルを使用して）に「いくつかのノードを見た」というグローバルな条件をエンコードすることは困難です。すぐ。したがって、ローカル制限のみの文字列の問題は、最適に機能することが期待できます。

の決定バージョンを考慮してください 最短のスーパーシーケンス問題:

2つの文字列$ a、b in sigma^+$を$ | a | = n $ and $ | b | = m $ and $ k in mathbb {n} $、文字列$ cがあるかどうかを決定します in sigma^+$ with $ | c | leq k $は、$ a $と$ b $が$ c $のサブシーケンスになるようなものです。

アイデアは、PCPが$ a $と$ b $のスーパーシーケンスを左から右に構築することです。タイルのオーバーラップでそれぞれ$ a $と$ b $の位置でエンコードします。 $ c $で記号あたり1タイルを使用するため、$ k $はBPCPのバウンドに対応します。このPCPを$ leq k $タイルで解決できる場合、等しい長さの共通のスーパーシーケンスを読み取ることができます。 。

タイルの構造は少し退屈ですが、非常に明確です。 $ a $または$ b $を転送しないタイルを作成しないことに注意してください。そのようなことは決してありません 最短 一般的なスーパーシーケンスなので、それらは余分です。削減の特性を破ることなく簡単に追加できます。

オーバーラップの数値はバイナリでエンコードされますが、$ sigma $の外側のシンボルを使用して、それらを共通の長さ$ log max（m、n）$にパディングします。したがって、タイルがグラフィックス示唆（テトリス）として使用されるようにします。つまり、文字とインデックスエンコードのオーバーラップは混合されません（PCPはこの自体を防ぎません）。必要です：

• 起動タイル： $ c $は、$ a_1 $、$ b_1 $、または等しい場合は両方で開始できます。
• 中間タイル： $ c $は、次の記号を$ a $、$ b $、または等しい場合は両方で続行できます。
• 終了タイル： $ c $は、$ a $の最後のシンボル（$ b $の最後の1つがすでに見られている場合）、$ b $の場合、または両方の最後のシンボルで終了します。

これらはタイル回路図です。中間タイルは、すべてのペア$（i、j） in [n] times [m] $についてインスタンス化する必要があることに注意してください。上記のように、それぞれの文字が$ a $と$ b $の一致である場合にのみ、$*$なしでタイルを作成します。

^[ソース]

$*$は「Do n't Care」の象徴です。実際のタイルでは、他のシンボルをそこにコピーする必要があります。タイルの数は$ theta（mn）$で、各タイルの長さは$ 4 log max（m、n） + 1 $であるため、構築されたbpcpインスタンス（over alphabet $ sigma cup {0 、1 } $プラス分離記号）多項式サイズを持っています。さらに、すべてのタイルの構造は、多項式時間で明らかに可能です。したがって、提案された削減は、実際には、NP完全な最短共通のスーパーシーケンス問題をBPCPに減らす有効な多項式変換です。

Answer 2

BPCPは、その断定性を証明するために使用されるものと同様の削減を使用することにより、NPが完全であることを証明できると思います。多項式時間にNPの問題を減らす方法を示すことにより、BPCPがNP完全であることを直接証明します。

PCPが決定不可能であることを証明するために使用される標準の削減（ここでスケッチしました）一連のタイルを構築して、文字列$ w $に与えられたtm $ m $の受け入れ計算がある場合、PCPソリューションがある場合に動作します。この削減で作成されたタイルの数は多項式的に大きいです - 具体的には、構築されたドミノの数は、TMのテープアルファベットのサイズと状態の数のある程度の関数です。サイズが大きい唯一のドミノは、最初のドミノで、$ w $が書かれています。この削減を決定論的TMSの作業から非決定論的TMSの作業に一般化すると、移行の数が有限であるため、これは最大数のドミノを導入します。したがって、多項式時間の通常の決定不能性の短縮のために、ドミノの標準セットを構築できます。

これを考えると、次のようにNPの問題をBPCPに減らすことができます - NPの問題を考えると、時間$ p（n）$で実行される多項式時間NTM $ m $があります。次に、この問題を次のように多項式時間でBPCPに減らすことができます - $ m $からドミノの標準セットを構築し、$ f（p（n））$ dominoesを使用するソリューションがあるかどうかを尋ねます。ソリューションが存在するために必要なドミノの数を表現する多項式関数（これはおそらく$ n^2 $のようなものであり、確かに指数関数ではありません）。次に、PCPが決定不可能であることを示すために使用するのと同じ証明を使用して、最大$ F（P（n））$ TILESを使用するこのBPCPインスタンスのソリューションがあることを証明できます。 $ p（n）$ステップ内のm $。その結果、NPのあらゆる問題からBPCPへの多項式時間が減少するため、BPCPはNPハードです。

（BPCPがNPにあることも示す必要がありますが、それは簡単です。どのドミノが整頓するかを推測してから、決定論的に検証するだけです）。

お役に立てれば！