Relations entre les déclarations impliquant un quantificateur universel, conditionnel et biconditionnel

Question

Si nous considérons deux prédicats:

$ b (x) $: x est un garçon

$ C (x) $: x est intelligent

Ensuite, il y a quatre déclarations impliquant $ ∀, b (x), c (x), → $ et $ ↔ $. Ceux-ci sont ci-dessous avec mon interprétation de leur signification. Corrigez-moi si je me trompe dans l'une de ces interprétations.

(un) $ ∀x (b (x) → c (x)) $ - tous les garçons sont intelligents

(b) $ ∀x (b (x)) → ∀x (c (x)) $ - si tous sont des garçons, alors tous sont intelligents

(c) $ ∀x (b (x) ↔c (x)) $ - Tous les garçons sont intelligents et tous ceux qui sont intelligents sont des garçons

(ré) $ ∀x (b (x)) ↔∀x (c (x)) $ - Si tous sont des garçons, alors tous sont intelligents et si tous sont intelligents, tous sont des garçons

J'essaie de déterminer toutes les relations conditionnelles $ (→, ↛) $ / $ (↔ ↔ ↔) $ entre deux au-dessus de quatre. Entre deux d'entre eux, s'il y a $ ↔ $, alors il n'y a qu'une seule relation. Cependant, s'il y a une relation conditionnelle dans une direction, la relation conditionnelle dans une autre direction ne sera pas valide. C'est-à-dire qu'il peut y avoir $ (→, ↛) $. Donc, chez Max, il y aura 4C_2 Times 2 = 12 $ de telles relations.

Maintenant, pour comprendre ces relations, je me suis préparé en dessous du tableau. J'ai considéré qu'il n'y avait que deux personnes dans l'univers $ x_1, x_2 $. $ {(b, c), (¬B, ¬c) } $ signifie $ x_1 $ est garçon et est intelligent et $ x_2 $ n'est pas un garçon et n'est pas intelligent. Les valeurs de vérité (dans le tableau) en gras (toutes autres que VI, VIII et XIV) sont celles qui, selon moi, sont correctes, bien que je ne sois pas sûr. Les valeurs de vérité non audacieuses (vi, viii et xiv) sont celles que je ne suis pas sûre. Donc, je me trompe plus probablement avec eux.

Sur la base des valeurs de vérité dans le tableau ci-dessus, j'ai préparé les relations suivantes:

Q. Les relations 1 à 12 sont-elles correctes?

Q. Y a-t-il également une faute dans l'exemple des prédicats $ b (x) $ et $ c (x) $ eux-mêmes?

En fait, je dois faire de la même manière que le quantificateur existentiel. Mais après. Mais ai-je raison avec toute cette pensée ou je suis juste fini? Ou je suis gravement foutu avec mes logiques?