Relazioni tra dichiarazioni che coinvolgono quantificatore universale, condizionale e bicondizionale

Question

Se consideriamo due predicati:

$ b (x) $: x è un ragazzo

$ c (x) $: x è intelligente

Quindi, ci sono quattro dichiarazioni che coinvolgono $ ∀, B (x), c (x), → $ e $ ↔ $. Questi sono sotto insieme alla mia interpretazione del loro significato. Correggimi se sbaglio in una di queste interpretazioni.

(un) $ ∀x (b (x) → c (x)) $ - Tutti i ragazzi sono intelligenti

(b) $ ∀x (b (x)) → ∀x (c (x)) $ - se tutti sono ragazzi, allora sono tutti intelligenti

(c) $ ∀x (b (x) ↔c (x)) $ - Tutti i ragazzi sono intelligenti e tutti coloro che sono intelligenti sono ragazzi

(d) $ ∀x (b (x)) ↔∀x (c (x)) $ - se tutti sono ragazzi, allora sono tutti intelligenti e se tutti sono intelligenti, allora tutti sono ragazzi

Sto cercando di determinare tutte le relazioni $ (→, ↛) $ / bi-condizionate $ (↔) $ (↔) $ (↔) $ tra due di sopra quattro. Tra due di questi, se c'è $ ↔ $, allora c'è solo una relazione. Tuttavia, se esiste una relazione condizionale in una direzione, allora la relazione condizionale nella direzione altro sarà non valida. Cioè ci possono essere $ (→, ↛) $. Quindi al massimo ci saranno $ 4c_2 tempi 2 = 12 $ tali relazioni.

Ora per capire queste relazioni, ho preparato sotto la tabella. Ho considerato che ci sono solo due persone nell'universo $ x_1, x_2 $. $ {(b, c), (¬b, ¬c) } $ significa $ x_1 $ è ragazzo ed è intelligente e $ x_2 $ non è un ragazzo e non è intelligente. I valori di verità (nella tabella) in grassetto (tutti diversi da VI, VIII e XIV) sono uno che ritengo corretto, anche se non ne sono sicuro. I valori di verità non audaci (VI, VIII e XIV) sono quelli che non sono sicuro. Quindi, sono più probabile che commetta errori con loro.

Sulla base dei valori di verità nella tabella sopra, ho preparato le seguenti relazioni:

Q. Le relazioni da 1 a 12 sono corrette?

Q. Inoltre c'è un certo difetto nell'esempio predicatori $ b (x) $ e $ c (x) $ stessi?

In realtà, devo fare simile per il quantificatore esistenziale. Ma in seguito. Ma ho ragione con tutto questo pensiero o sto solo pensando? O sono gravemente fregato dalle mie logiche?