Quelle est la relation entre la logique du premier ordre et la théorie du premier ordre?

Question

Je pensais que n'importe quel FOT est un sous-ensemble de fol, mais cela ne semble pas être le cas, car le pop est complet (chaque formule est valide ou invalide), tandis que certains FOT (comme l'arithmétique entier linéaire) ne sont pas terminés.

Alors, FOL est-il plus expressif que n'importe lequel de FOT? Ou incomparable?

De plus, la déclaration "Il existe des déclarations qui sont valides dans LIA mais ne peuvent pas être prouvées en utilisant des axiomes de lia" est bizarre. Comment l'énoncé peut-il être valide si nous ne pouvons pas prouver sa validité? J'ai toujours pensé que si vous ne pouvez pas prouver la validité de la déclaration, vous ne pouvez pas prétendre qu'il est valide.