Qual è la relazione tra la logica del primo ordine e la teoria del primo ordine?

Question

Ho pensato che qualsiasi FOT fosse un sottoinsieme di fol, ma che non sembra essere il caso, perché la fol è completa (ogni formula è valida o non valida), mentre alcuni FOT (come l'aritmetica intera lineare) non sono completi.

Quindi, la gente è più espressiva di uno qualsiasi di FOT? O incomparabile?

Inoltre, l'affermazione "Ci sono dichiarazioni valide in Lia ma non possono essere dimostrate usando assiomi di Lia" è strana. Come può l'istruzione essere valida se non possiamo dimostrare la sua validità? Ho sempre pensato che se non puoi provare la validità della dichiarazione, allora non puoi affermare che è valida.