La théorie équationnelle des langues régulières n'a pas d'ensemble fini d'axiomes pour les alphabets généraux

Question

Selon Redko La théorie équationnelle des langues régulières avec les opérations $ +, cdot, * $ sur une seule lettre n'a pas de jeu fini d'axiomes.

Pourquoi cela implique-t-il qu'il n'a pas d'ensemble fini d'axiomes sur un alphabet arbitraire?

Supposons que j'ai un ensemble fini d'axiomes pour la théorie équationnelle d'un alphabet avec plus d'une lettre, comment cela donnerait-il un ensemble fini d'axiomes pour le cas unique? Je veux dire que dans le cas de lettre unique, nous avons des équations supplémentaires qui ne tenaient pas dans le cas arbitraire, pour l'examen $ ab = ba $ pour deux langues $ a, b $, et donc qui ne pouvait pas être dérivée des axiomes, d'où ces axiomes N'axiomatisez pas le boîtier d'une seule lettre.

Quelques clarifications comme demandées dans les commentaires: Étant donné un alphabet fixe $ Sigma $ et un ensemble de variables $ x = {a, b, c, ldots } $, les termes sont définis par induction:

1) Chaque $ a in sigma $ est un terme,

2) Chaque variable $ x $ est un terme,

3) Si $ s, t $ sont des termes, alors $ s + t, s cdot t, t ^ { ast} $ sont des termes.

L'interprétation des ensembles réguliers $ mathcal {reg} ( Sigma) subseseq mathcal p ( Sigma ^ { ast}) $ est comme d'habitude. Comme écrit dans les commentaires, comme un ensemble de termes $ gamma $ axiomes $ mathcal {reg} ( sigma) $, les langues régulières sur un alphabet donné $ sigma $, si $$ gamma vdash t_1 = t_2 Mbox {iff} mathcal {reg} ( Sigma) Modèles T_1 = T_2. $$ où $ t_1, t_2 $ sont des termes avec des lettres d'alphabet de $ sigma $, et les variables sont interprétées comme universellement quantifiées. La seule règle d'interférence est la substitution, que je veux dire par logique équationnelle.