La teoria equazionale delle lingue regolari non ha un insieme finito di assiomi per gli alfabeti generali

Question

Secondo Redko La teoria equazionale delle lingue regolari con le operazioni $+, CDOT, *$ su una singola lettera non ha un insieme finito di assiomi.

Perché ciò implica che non ha alcun insieme assite di assiomi su un alfabeto arbitrario?

Supponiamo di avere un insieme finito di assiomi per la teoria equazionale di un alfabeto con più di una lettera, come darebbe un insieme finito di assiomi per la custodia a singola lettera? Intendo nel caso della singola lettera che abbiamo ulteriori equazioni che non hanno contenuto nel caso arbitrario, per Examle $ AB = BA $ per due lingue $ A, B $, e quindi che non potevano essere derivate dagli assiomi, da cui questi assiom Non assiomatizzare la custodia a lettera singola.

Alcuni chiarimenti come richiesto nei commenti: dato un alfabeto fisso $ sigma $ e un insieme di variabili $ x = {a, b, c, ldots } $, i termini sono definiti induttivamente:

1) Ogni $ a in sigma $ è un termine,

2) Ogni variabile $ x $ è un termine,

3) Se $ s, t $ sono termini, allora $ s + t, s cdot t, t^{ ast} $ sono termini.

L'interpretazione dei set regolari $ mathcal {reg} ( sigma) sottoseteq mathcal p ( sigma^{ ast}) $ è come al solito. Come scritto nei commenti, come set di termini $ gamma $ axiomises $ mathcal {reg} ( sigma) $, le lingue regolari su un dato alfabeto $ sigma $, se $$ gamma vdash t_1 = t_2 mbox {iff} mathcal {reg} ( sigma) modelli t_1 = t_2. $$ dove $ t_1, t_2 $ sono termini con lettere di alfabeto da $ sigma $ e le variabili sono interpretate come universalmente quantificate. L'unica regola di interferenza è la sostituzione, che intendo per logica equazionale.