Stratégie optimale dans la coupe des gâteaux répétés

Question

Alice et Bob jouent le célèbre jeu de Diviser et choisir $ n $ fois avec $ n $ gâteaux identiques. Chaque fois, Alice coupe le gâteau en deux morceaux, et Bob choisit la pièce qu'il préfère. Alice ne connaît pas les préférences de Bob, mais elle suppose qu'elles proviennent d'une distribution uniforme.

Quelle est la stratégie qui maximise la valeur totale attendue d'Alice?

Voici ma solution jusqu'à présent.

Supposons que le gâteau est l'intervalle $ [0,1] $. Alice coupe le gâteau en choisissant quelque $ x in [0,1] $. Soit $ h in [0,1] $ un point tel que Bob est indifférent entre le gâteau à gauche de $ h $ et le gâteau à droite de $ h $. Soit $ v (x) $ l'évaluation d'Alice de l'intervalle $ [0, x] $; C'est une fonction continue et croissante de $ x $. Alors:

• Si $ h> x $, alors Bob choisit $ [x, 1] $ et Alice obtient $ [0, x] $ et gagne $ v (x) $.
• Si $ h <x $, alors Bob choisit $ [0, x] $ et Alice obtient $ [x, 1] $ et gagne $ v (1) -v (x) $.
• Si $ h = x $ alors, disons que Bob choisit un morceau au hasard pour qu'Alice gagne en moyenne $ v (1) / 2 $.

Si Alice connaît $ h $, alors elle a une stratégie optimale simple:

• Si $ v (h)> v (1) -v (h) $, alors sélectionnez $ x ^ * = h- epsilon $, pour certains $ epsilon> 0 $, et gagnez $ environ v (h) $ .
• Sinon, sélectionnez $ x ^ * = h + epsilon $, pour certains $ epsilon> 0 $, et gagnez $ approx v (1) -v (h) $.

Initialement, Alice ne connaît pas $ H $, elle suppose donc qu'elle est distribuée uniformément en $ [0,1] $. Si Alice coupe à $ x $ et Bob choisit à gauche, cela dit à Alice que $ h in [0, x] $; Si Bob choisit bien, cela dit à Alice que $ h in [x, 1] $. Ainsi, en utilisant la recherche binaire, Alice peut estimer $ H $ à une précision arbitraire. Cela semble être une stratégie optimale lorsque $ n to infty $: dépenser beaucoup de tours initialement pour obtenir une estimation précise de $ h $, et utiliser cette estimation à partir de là pour obtenir la valeur optimale possible.

Je suis coincé dans le cas où $ n $ est fini et petit. La question me dérange même pour $ n = 2 $: quelle est la première coupe optimale?