Strategia ottimale nel taglio della torta ripetuta

Question

Alice e Bob giocano il famoso gioco di Dividi e scegli $ n $ tempi con $ n $ torte identiche. Ogni volta, Alice taglia la torta a due pezzi e Bob sceglie il pezzo che preferisce. Alice non conosce le preferenze di Bob, ma lei presume che provengano da una distribuzione uniforme.

Qual è la strategia che massimizza il valore totale atteso di Alice?

Ecco la mia soluzione finora.

Supponiamo che la torta sia l'intervallo $ [0,1] $. Alice taglia la torta scegliendo alcuni $ x in [0,1] $. Lascia che $ h in [0,1] $ sia un punto in modo tale che Bob sia indifferente tra la torta a sinistra di $ h $ e la torta a destra di $ h $. Sia $ v (x) $ essere la valutazione di Alice dell'intervallo $ [0, x] $; È una funzione continua e crescente di $ x $. Quindi:

• Se $ h> x $, allora Bob raccoglie $ [x, 1] $ e Alice ottiene $ [0, x] $ e guadagna $ V (x) $.
• Se $ H <x $, allora Bob raccoglie $ [0, x] $ e Alice ottiene $ [x, 1] $ e guadagna $ V (1) -V (x) $.
• Se $ H = x $ allora, diciamo che Bob sceglie un pezzo a caso, quindi Alice guadagna in media $ V (1)/2 $.

Se Alice conosce $ H $, allora ha una semplice strategia ottimale:

• Se $ v (h)> v (1) -v (h) $, quindi seleziona $ x^* = h- epsilon $, per alcuni $ epsilon> 0 $, e guadagna $ ca. .
• Altrimenti, seleziona $ x^* = H+ epsilon $, per alcuni $ epsilon> 0 $, e guadagna $ circa v (1) -v (h) $.

Inizialmente, Alice non conosce $ H $, quindi presume che sia distribuito uniformemente in $ [0,1] $. Se Alice taglia a $ x $ e Bob sceglie a sinistra, questo dice ad Alice che $ H in [0, x] $; Se Bob sceglie bene, questo dice ad Alice che $ H in [x, 1] $. Quindi, usando la ricerca binaria, Alice può stimare $ H $ a una precisione arbitraria. Questa sembra essere una strategia ottimale quando $ n a infty $: spendi molti round inizialmente per ottenere una stima accurata di $ h $ e utilizzare questa stima da allora in poi per ottenere il valore ottimale possibile.

Sono bloccato nel caso in cui $ n $ sia finito e piccolo. La domanda mi va anche per $ n = 2 $: qual è il primo taglio ottimale?