Existe-t-il un terme pour ces sous-graphiques "descendance" des graphiques acycliques dirigés?

Question

Considérez un graphique acyclique dirigé $ G $ avec sommet Vertex $ V $ .Choisissez un sommet $ V $ et laissez $ h $ être le sous-graphique contenant $ V $ et tous les autres sommets de $ g $ accessible de $ v (avec les bords dirigés associés).

(En d'autres termes, si nous choisissons $ v \ in v $ , nous sommes intéressés par le sous-ensemble composé de $ V $ et tous ses descendants).

Y a-t-il un terme accepté pour ce sous-ensemble particulier de sommets (ou le sous-graphique)?Cela semble être un concept assez élémentaire, donc je m'attendais à trouver une phrase couramment utilisée pour cela, mais ma recherche est vide jusqu'à présent.Merci pour toutes les réponses ou les prospects!

Answer 1

genre de. Mais nous allons utiliser la reconnaissance informatique habituelle de la décrire, en utilisant la langue de Relations binaires .

Vous connaissez probablement déjà les relations binaires, comme l'égalité $= $ , moins que ou égal à $ \ le $ , sous-ensemble $ \ Subreteq $ , et ainsi de suite. En général, une relation binaire $ r $ sur un ensemble $ x $ est un sous-ensemble $ R \ Subreteq x \ fois x $ . Si $ (x, y) \ en r $ , nous désignons cela comme $ x / span>.

si $ \ Forall x \ \ in x, xrx $ , alors $ r $ est > Réflexif . Les relations $= $ et $ \ le $ sont réfléchies, mais $ \ lt $ n'est pas.

si $ \ forall x, y, z \ in x, xr \, \ wedge \, yrz \ rightarrow xrz $ , alors $ R $ est transitif . Beaucoup de relations sont transitives, y compris tous ceux donnés ci-dessus. Si $ x \ le y $ $ et $ y \ le z $ , puis $ x \ le z $ .

donné une relation $ r $ , la fermeture transitive réflexive de $ r $ < / span>, noté $ r ^ * $ est la plus petite relation $ r ^ * $ telle que $ r \ subteteq r ^ * $ et $ r ^ * $ est réfléchi et transitif.

interpréter votre graphique en tant que relation binaire (car les bords ne semblent pas vraiment compter pour vous, vous n'êtes pas intéressé par l'ensemble des sommets), c'est exactement ce que vous voulez: $ xr ^ * y $ si et seulement si $ y $ est un" descendant "(par votre sens) de $ x $ .

Lorsque vous regardez la littérature, vous devez connaître une notation de plus: la fermeture transitive de $ r $ , noté $ r ^ + $ est la plus petite relation $ r ^ + $ telle que $ R \ Subreteq r ^ + $ et $ R ^ + $ est transitif. Les algorithmes de calcul de la fermeture transitive et de la fermeture transitive réflexive sont liés, car ils ne diffèrent que par les entrées "diagonales": $ r ^ + \ tasse \ gaucher \ {(x, x) \, | \, x \ in x \ droite \ \}= r ^ * $ .

Il existe plusieurs algorithmes standard pour calculer le RTC d'une relation. Si la relation est dense, dans le sens où il est réalisable de le représenter comme une matrice de morve, le Algorithme Floyd-Warshall est l'un des algorithmes pratiques les plus rapides; son heure d'exécution est $ \ theta (| v | ^ 3) $ en théorie, mais la boucle interne est assez rapide sur le matériel réel étant donné qu'il s'agit d'un tas de bits manipulations de vecteur.

Pour les relations clairsemes, voir Thèse esko Nuutila , qui contient un Très bonne enquête ainsi que des algorithmes plus récents.