Есть ли термин для этих «потомков» подграфов направленных ациклических графов?

Question

Рассмотрим направленный ациклический график $ g $ с установленным вершинами $ v $ .Выберите вершину $ v $ , и пусть $ h $ Будьте подграфом, содержащем $ v $ и все остальные вершины в $ g $ , которые доступны от $ v $ (наряду с соответствующими направленными краями).

(Другими словами, если мы выберем $ V \ in v $ , то мы заинтересованы в подмножестве, состоящем из $ v $ и все его потомки).

Есть ли принятый термин для этого конкретного подмножества вершин (или подграфа)?Похоже, это довольно элементарная концепция, поэтому я ожидал найти обычно используемую фразу для этого, но мой поиск покажется пустым.Спасибо за любые ответы или ведущие!

Answer 1

вид. Но мы собираемся использовать обычный способ приобретательности компьютера описания этого, используя язык двоичные отношения .

Вы, вероятно, уже знакомы с двоичными отношениями, такие как равенство $= $ , меньше, чем-равным - для $ \ subsretq $ и так далее. В целом, двоичное отношение $ R $ Набор $ x $ - это подмножество $ r \ sondestq x \ times x $ . Если $ (x, y) \ in r $ мы обозначаем это как $ xry $ . .

Если $ \ forall x \ in x, xrx $ , то $ R $ рефлексивный . Отношения $= $ и $ \ le $ - рефлексив, но $ \ lt $ нет.

Если $ \ forall x, y, z \ in x, xry \, \ q q \, yrz \ prightarrow xrz $ , затем $ r $ - транзитивные . Множество отношений транзитивны, включая все приведенные выше. Если $ x \ le y $ и $ y \ le z $ , то $ x \ le z $ .

Учитывая соотношение $ R $ , рефлексивное переходное замыкание $ R $ < / span>, обозначенный $ r ^ * $ , это наименьшее отношение $ R ^ * $ такой, что $ r \ subsEtq r ^ * $ и $ R ^ * $ - это рефлексивный и транзительный. .

Интерпретация вашего графика в качестве двоичного соотношения (поскольку к краям действительно не имеет значения для вас, вы заинтересованы только в наборе вершин), это именно то, что вы хотите: $ xr ^ * y $ Если и только если $ y $ -« потомк »(по вашему значению) $ x $ .

При взгляде на литературу вам нужно будет узнать еще один часть обозначения: транзитивное закрытие $ r $ , обозначенный $ R ^ + $ , это наименьшее отношение $ R ^ + $ такой, что $ r \ sondestq r ^ + $ и $ R ^ + $ транзитивны. Алгоритмы вычисления переходного замыкания и рефлексивного переходного замыкания связаны, поскольку они отличаются только «диагональными» записями: $ R ^ + \ Cup \ Left \ {(x, x) \, | \, x \ in x \ vant \}= r ^ * $ .

Есть несколько стандартных алгоритмов для вычисления RTC соотношения. Если отношение плотное, в том смысле, что это возможно, представлять его как немного матрицы, Флойд-военный алгоритм является одним из самых быстрых практических алгоритмов; Его время выполнения составляет $ \ theta (| v | ^ 3) $ теоретически, но внутренний цикл довольно быстрый на реальном оборудовании, учитывая, что он это куча бита векторные манипуляции.

для редких отношений, см. Диссертация Esko Nuutila , который содержит Очень хороший опрос, а также несколько недавних алгоритмов.