Compter les circuits avec des contraintes

Question

S'il vous plaît me pardonner si cette question est triviale, je ne pouvais pas trouver une réponse (ni en trouver un).

Pour montrer qu'il y a des fonctions booléennes $ f: {0,1 \} ^ n \ rightarrow \ {0,1 \} $ qui peut être calculé uniquement à l'aide de circuits de taille $ \ omega (2 ^ n / n) $ , nous utilisons un argument de comptage: il y a au plus $ o (2 ^ {k \ journal k}) $ circuits de taille $ k $ et 2 ^ {2 ^ n} $ ces fonctions.

Supposons que je suis intéressé à compter des circuits de taille $ k $ qui calculent différentes fonctions. L'argument de comptage "simple" ne fonctionnera pas car il peut être possible que deux circuits "syntaxiquement" différents calculent réellement la même fonction. En d'autres termes, je veux lier la taille de l'ensemble: $$ f= {f: \ {0,1 \} ^ n \ rightarrow \ {0,1 \} | f \ texte {peut être calculé à l'aide d'un circuit de taille} k \} $$

Alors $ | F | <$ le nombre de circuits de taille $ k $ (puisqu'un circuit calcule une fonction), mais comment puis-je lier $ | F | $ d'en bas? (c'est-à-dire $ x <| f | $ )

Answer 1

Afin de lier le nombre de fonctions calculées par des circuits de taille $ k $ , vous avez au moins deux options:

• construire un grand nombre de circuits de taille $ k $ , qui par construction calculer différentes fonctions.
• Considérons une distribution de probabilité naturelle sur les circuits de taille $ k $ et estimer la probabilité que deux circuits aléatoires calculent la même fonction.

À titre d'exemple, il est connu que chaque fonction sur variables $ peut être calculée par un circuit de taille $ O (2 ^ m / m) $ . En considérant des fonctions de la forme $ f_1 (x_1, \ ldots, x_m) \ lor \ cdots \ lor f_ {n / m} (x_ {n-m + 1}, \ ldots , x_n) $ , cela montre qu'il existe au moins $ (2 ^ {2 ^ m}) ^ {n / m} $ différentes fonctions calculées par des circuits de taille $ k= o (n2 ^ m / m ^ 2) $ . En termes de $ k $ , le nombre de fonctions est grossièrement exponential dans $ k \ journal k $ , pour $ m \ gg \ journal n $ .