Pourquoi $ \ journal n + \ journal \ frac {n} {2} + \ journal \ frac {n} {4} + \ journal \ frac {n} {8} + \ CDOTS + \ log \ frac {n} {n}=Theta (\ log ^ 2 n) $?

Question

$$ \ journal n + \ journal \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ journal \ frac {n} {8}+ \ CDOTS + \ journal \ frac {n} {n}=theta (\ log ^ 2n). $$

La somme des logarithmes est le logarithme du produit $ n \ cdot \ frac {n} {2} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {n} {8} \ Cdots \ frac {n} {n} $ .Cela équivaut à $ n ^ {\ journal n} $ divisé par quoi?Si le produit serait juste $ n ^ {\ journal n} $ , alors cela ferait une envoi parfait depuis $ \ log(n ^ {\ journal n})=journal (n) \ CDOT \ journal (n)=journal ^ 2 N $ .Mais le diviseur est égal à $ \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {8} \ CDOT \ frac {1}{16} \ CDOTS \ frac {1} {n} $ Donc, je ne comprends pas.

Answer 1

supposer $ n $ est une puissance de $ 2 $ , vous avez: $$ \ sum_ {i= 0} ^ ^ \ \ journal n} \ journal \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ journal n} \ gauche (\ journal n - i \ droite)= \ sum_ {i= 0} ^ ^ {\ journal n} i= \ frac {(\ journal n) (\ journal n + 1)} {2}=theta (\ log ^ 2 n). $$