È proprio lì nel wp_mail()
documentazione (sotto Utilizzo):
Il tipo di contenuto predefinito è "testo/semplice" che non consente l'utilizzo di HTML. È possibile impostare il tipo di contenuto dell'e-mail utilizzando il filtro "WP_Mail_Content_Type" (vedere Esempio sotto) o includendo un'intestazione come "Content-Type: Text/HTML". Fai attenzione a reimpostare "wp_mail_content_type" di nuovo su "testo/semplice" dopo aver inviato il messaggio, tuttavia, perché non riuscire a farlo potrebbe portare a problemi inaspettati con e-mail da WP o plugin/temi.
(enfasi la mia)
Il secondo esempio nella pagina mostra come farlo (l'esempio usa text/html
Ma dovresti essere in grado di usare il tuo multipart/alternative
invece.