Esiste un algoritmo per il calcolo dell'ordine moltiplicativo di x modulo y (per y < 1000) che non richiede un tipo BigInteger?

Question

L'algoritmo che sto usando al momento si imbatte in numeri estremamente alti molto rapidamente. Un passo nell'algoritmo che sto per sollevare x al risultato della funzione totient applicata a y . Il risultato è che puoi imbatterti in numeri molto grandi.

Eg. Nel calcolare ordine moltiplicativo di 10 modulo 53:

10^totient(53) == 10^52 == 1 * 10^52

Il seguente algoritmo funziona un po 'meglio in termini di evitamento di grandi numeri, ma fallisce ancora quando 10 ^ mOrder è maggiore della capacità del tipo di dati:

  mOrder = 1
  while 10^mOrder % 53 != 1
      if mOrder >= i
          mOrder = 0;
          break
      else
          mOrder = mOrder + 1

Answer 1

Usando l'esponente modulare, è possibile calcolare (10 ^ mOrder% 53) o in generale, qualsiasi (a ^ b mod c) senza ottenere valori molto più grandi di c. Vedi Wikipedia per i dettagli, c'è anche questo codice di esempio:

Bignum modpow(Bignum base, Bignum exponent, Bignum modulus) {

    Bignum result = 1;

    while (exponent > 0) {
        if ((exponent & 1) == 1) {
            // multiply in this bit's contribution while using modulus to keep result small
            result = (result * base) % modulus;
        }
        // move to the next bit of the exponent, square (and mod) the base accordingly
        exponent >>= 1;
        base = (base * base) % modulus;
    }

    return result;
}

Answer 2

Perché esponenziare? Non puoi semplicemente moltiplicare il modulo n in un ciclo?

(defun multiplicative-order (a n)
  (if (> (gcd a n) 1)
      0
      (do ((order 1 (+ order 1))
           (mod-exp (mod a n) (mod (* mod-exp a) n)))
          ((= mod-exp 1) order))))

O, nel codice ptheudo (sic):

def multiplicative_order (a, n) :
    if gcd (a, n) > 1 :
        return 0
      else:
        order = 1
        mod_exp = a mod n
        while mod_exp != 1 :
            order += 1
            mod_exp = (mod_exp * a) mod n
        return order