BigInteger型を必要としない、yを法とするxの乗数（y＆lt; 1000の場合）を計算するアルゴリズムはありますか？

Question

私が現在使用しているアルゴリズムは、非常に高速で非常に多くの数値に達します。アルゴリズムのステップで、 x を y に適用されたtotient関数の結果に上げます。その結果、非常に大きな数に遭遇する可能性があります。

たとえば10の53を法とする乗法の順序を計算する場合：

10^totient(53) == 10^52 == 1 * 10^52

次のアルゴリズムは、大きな数を避けるという点では少し良くなりますが、 10 ^ mOrder がデータ型の容量よりも大きい場合は失敗します：

  mOrder = 1
  while 10^mOrder % 53 != 1
      if mOrder >= i
          mOrder = 0;
          break
      else
          mOrder = mOrder + 1

Answer 1

モジュラー累乗法を使用すると、cよりもはるかに大きな値を取得せずに（10 ^ mOrder％53）または一般的に（a ^ b mod c）を計算できます。詳細については、 Wikipedia をご覧ください。このサンプルコードもあります：

Bignum modpow(Bignum base, Bignum exponent, Bignum modulus) {

    Bignum result = 1;

    while (exponent > 0) {
        if ((exponent & 1) == 1) {
            // multiply in this bit's contribution while using modulus to keep result small
            result = (result * base) % modulus;
        }
        // move to the next bit of the exponent, square (and mod) the base accordingly
        exponent >>= 1;
        base = (base * base) % modulus;
    }

    return result;
}

Answer 2

なぜべき乗するのですか？ループでモジュロ n を乗算することはできませんか？

(defun multiplicative-order (a n)
  (if (> (gcd a n) 1)
      0
      (do ((order 1 (+ order 1))
           (mod-exp (mod a n) (mod (* mod-exp a) n)))
          ((= mod-exp 1) order))))

または、ptheudo（sic）コードで：

def multiplicative_order (a, n) :
    if gcd (a, n) > 1 :
        return 0
      else:
        order = 1
        mod_exp = a mod n
        while mod_exp != 1 :
            order += 1
            mod_exp = (mod_exp * a) mod n
        return order