Come dimostrare che un predicato è prefisso chiuso

Question

Supponiamo di avere il predicato

$ qquad apq ≡ (∀i mid p≤i≤j

Il che dice che $ x [p..q) $ sta salendo.

Apparentemente, il predicato vale per segmenti vuoti, è chiuso al prefisso ed è chiuso postfix.

Vorrei dimostrare che il predicato sopra è effettivamente chiuso, ma non sono in grado di farlo; Cioè, non sono in grado di dimostrarlo

$ qquad apq implica (∀s mid p≤s≤q: APS) $

E mi chiedevo se qualcuno potesse aiutare?