Mancano alcuni percorsi nell'algoritmo di flusso Max Karp Karp Karp

Question

Attuarei Algoritmo Edmond Karp, ma sembra che non sia corretto e non sto ottenendo un flusso corretto, considera di seguire il grafico e il flusso da 4 a 8:

L'algoritmo funziona come segue:

Per prima cosa trova 4 → 1 → 8, quindi trova 4 → 5 → 8 dopo che 4 → 1 → 6 → 8

E penso che il terzo percorso sia sbagliato, perché usando questo percorso non possiamo usare il flusso da 6 → 8 (perché utilizzato) e in effetti non possiamo usare il flusso da 4 → 5 → 6 → 8.

In effetti, se scegliamo 4 → 5 → 6 → 8, quindi 4 → 1 → 3 → 7 → 8 e quindi 4 → 1 → 3 → 7 → 8 possiamo ottenere un flusso migliore (40).

Ho implementato l'algoritmo dal codice di esempio wiki. Penso che non possiamo usare alcun percorso valido e in effetti questa avida selezione è sbagliata.

Ho sbagliato?

Il codice è come sotto (in C#, la soglia è 0 e non influisce sull'algoritmo):

   public decimal EdmondKarps(decimal[][] capacities/*Capacity matrix*/,
                    List<int>[] neighbors/*Neighbour lists*/,
                    int s /*source*/,
                    int t/*sink*/,
                    decimal threshold,
                    out decimal[][] flowMatrix
                    /*flowMatrix (A matrix giving a legal flowMatrix with the maximum value)*/
                    )
    {
        THRESHOLD = threshold;
        int n = capacities.Length;
        decimal flow = 0m; // (Initial flowMatrix is zero)
        flowMatrix = new decimal[n][]; //array(1..n, 1..n) (Residual capacity from u to v is capacities[u,v] - flowMatrix[u,v])
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            flowMatrix[i] = new decimal[n];
        }

        while (true)
        {
            var path = new int[n];
            var pathCapacity = BreadthFirstSearch(capacities, neighbors, s, t, flowMatrix, out path);
            if (pathCapacity <= threshold)
                break;
            flow += pathCapacity;

            //(Backtrack search, and update flowMatrix)
            var v = t;
            while (v != s)
            {
                var u = path[v];
                flowMatrix[u][v] = flowMatrix[u][v] + pathCapacity;
                flowMatrix[v][u] = flowMatrix[v][u] - pathCapacity;
                v = u;
            }
        }
        return flow;
    }

    private decimal BreadthFirstSearch(decimal[][] capacities, List<int>[] neighbors, int s, int t, decimal[][] flowMatrix, out int[] path)
    {
        var n = capacities.Length;
        path = Enumerable.Range(0, n).Select(x => -1).ToArray();//array(1..n)
        path[s] = -2;
        var pathFlow = new decimal[n];
        pathFlow[s] = Decimal.MaxValue; // INFINT
        var Q = new Queue<int>(); // Q is exactly Queue :)
        Q.Enqueue(s);
        while (Q.Count > 0)
        {
            var u = Q.Dequeue();
            for (int i = 0; i < neighbors[u].Count; i++)
            {
                var v = neighbors[u][i];
                //(If there is available capacity, and v is not seen before in search)
                if (capacities[u][v] - flowMatrix[u][v] > THRESHOLD && path[v] == -1)
                {
                    // save path:
                    path[v] = u;
                    pathFlow[v] = Math.Min(pathFlow[u], capacities[u][v] - flowMatrix[u][v]);
                    if (v != t)
                        Q.Enqueue(v);
                    else
                        return pathFlow[t];
                }
            }
        }
        return 0;
    }

Answer 1

Il modo per scegliere i percorsi non è importante.

È necessario aggiungere bordi del percorso in ordine inverso con capacità del percorso e ridurre la capacità dei bordi del percorso di quel valore.

In effetti questa soluzione funziona:

while there is a path with positive capacity from source to sink{
    find any path with positive capacity from source to sink, named P with capacity C.
    add C to maximum_flow_value.
    reduce C from capacity of edges of P.
    add C to capacity of edges of reverse_P.
}

Finalmente il valore del flusso massimo è la somma di Cs nel ciclo.

Se si desidera vedere il flusso nei bordi nel flusso massimo che hai realizzato, è possibile conservare il grafico iniziale da qualche parte, il flusso in Edge E sarebbe originale_capacity_e - current_capacity_e.