Edmonds Karp Max Flow 알고리즘의 일부 경로가 누락되었습니다

Question

Edmond Karp 알고리즘 이지만, 올바르지 않아요. 올바른 흐름을 얻지 못하고 4에서 8으로 그래프와 흐름을 고려하십시오.

알고리즘은 다음과 같이 실행됩니다.

첫 번째는 4 → 1 → 8을 찾습니다. 그런 다음 4 → 5 → 8을 찾습니다 그 후 4 → 1 → 6 → 8

그리고 나는이 경로를 사용함으로써 우리가 6 → 8에서 유량을 사용할 수 없기 때문에 세 번째 경로가 잘못되었습니다. 실제로 4 → 5 → 6 → 8에서 유량을 사용할 수 없습니다.

4 → 5 → 6 → 8을 선택한 다음 4 → 1 → 3 → 7 → 8을 선택하면 4 → 1 → 3 → 7 → 8을 더 잘 흐르게 할 수 있습니다. Wiki 샘플 코드에서 알고리즘을 구현했습니다. 나는 우리가 유효한 경로를 사용할 수 없다고 생각하고 실제로이 탐욕스러운 선택이 잘못되었습니다.

나는 틀렸어?

코드는 아래에 있습니다 (C #에서는 임계 값이 0이며 알고리즘에 영향을주지 않습니다) :

   public decimal EdmondKarps(decimal[][] capacities/*Capacity matrix*/,
                    List<int>[] neighbors/*Neighbour lists*/,
                    int s /*source*/,
                    int t/*sink*/,
                    decimal threshold,
                    out decimal[][] flowMatrix
                    /*flowMatrix (A matrix giving a legal flowMatrix with the maximum value)*/
                    )
    {
        THRESHOLD = threshold;
        int n = capacities.Length;
        decimal flow = 0m; // (Initial flowMatrix is zero)
        flowMatrix = new decimal[n][]; //array(1..n, 1..n) (Residual capacity from u to v is capacities[u,v] - flowMatrix[u,v])
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            flowMatrix[i] = new decimal[n];
        }

        while (true)
        {
            var path = new int[n];
            var pathCapacity = BreadthFirstSearch(capacities, neighbors, s, t, flowMatrix, out path);
            if (pathCapacity <= threshold)
                break;
            flow += pathCapacity;

            //(Backtrack search, and update flowMatrix)
            var v = t;
            while (v != s)
            {
                var u = path[v];
                flowMatrix[u][v] = flowMatrix[u][v] + pathCapacity;
                flowMatrix[v][u] = flowMatrix[v][u] - pathCapacity;
                v = u;
            }
        }
        return flow;
    }

    private decimal BreadthFirstSearch(decimal[][] capacities, List<int>[] neighbors, int s, int t, decimal[][] flowMatrix, out int[] path)
    {
        var n = capacities.Length;
        path = Enumerable.Range(0, n).Select(x => -1).ToArray();//array(1..n)
        path[s] = -2;
        var pathFlow = new decimal[n];
        pathFlow[s] = Decimal.MaxValue; // INFINT
        var Q = new Queue<int>(); // Q is exactly Queue :)
        Q.Enqueue(s);
        while (Q.Count > 0)
        {
            var u = Q.Dequeue();
            for (int i = 0; i < neighbors[u].Count; i++)
            {
                var v = neighbors[u][i];
                //(If there is available capacity, and v is not seen before in search)
                if (capacities[u][v] - flowMatrix[u][v] > THRESHOLD && path[v] == -1)
                {
                    // save path:
                    path[v] = u;
                    pathFlow[v] = Math.Min(pathFlow[u], capacities[u][v] - flowMatrix[u][v]);
                    if (v != t)
                        Q.Enqueue(v);
                    else
                        return pathFlow[t];
                }
            }
        }
        return 0;
    }

.

Answer 1

경로를 선택하는 방법은 중요하지 않습니다.

경로 용량이있는 역순으로 경로의 가장자리를 추가하고 해당 값으로 경로의 가장자리 용량을 줄여야합니다.

사실이 솔루션은 작동합니다 :

while there is a path with positive capacity from source to sink{
    find any path with positive capacity from source to sink, named P with capacity C.
    add C to maximum_flow_value.
    reduce C from capacity of edges of P.
    add C to capacity of edges of reverse_P.
}

.

마지막으로 최대 유량 값은 루프의 C의 합계입니다.

최대 흐름에서 가장자리의 흐름을 보려면, 초기 그래프를 어딘가에 유지할 수 있습니다. 가장자리 E의 흐름은 Original_capacity_e - current_capacity_e입니다.