Set che è facile da assaggiare, ma difficile da assaggiare dal suo complemento

Question

Dato un set $ s \ Somewetq \ {0,1 \} ^ * $ , l'algoritmo $ A $ è un generatore per $ s $ se data $ n $ bit casuali $ x \ in \ {0,1 \} ^ n $ , $ a $ Genera un elemento di $ s $ di taglia $ n $ e $ A $ può generare almeno $ \ frac {2} {3} $ membri di $ s $ di dimensioni $ N $ (per tutti $ N $ ). $ A $ non deve essere uniforme.

c'è un set $ s $ tale che esiste un algoritmo efficiente $ a $ tale per tutti $ N $ , $ a $ genera almeno $ \ frac {2} {3} $ membri di $ s $ (della dimensione $ N $ < / span>), ma qualsiasi algoritmo efficiente per $ s ^ c $ può generare solo al massimo $ \ frac {1} {3} $ Elementi da $ s ^ c $ di taglia $ N $ (sotto Asupia complessità)?

Answer 1

Possiamo costruire $ s $ in modo tale che i generatori di tempo polinomiali per $ A $ esistono, mentre esistono Nessun generatore esiste per $ s ^ {c} $ . Pick $ s $ In tal modo che tutte le stringhe che iniziano con $ 1 $ sono in esso, e esattamente la metà di tutte le corde A partire da $ 0 $ sono in esso.

Un campionatore che imposta il primo bit di $ x $ a $ 1 $ e uscite genera sempre un elemento in $ s $ e genera esattamente $ \ frac {2} {3} $ del Elementi in $ s $ .

Tuttavia, il campionamento dal complemento della $ s $ nel caso generale è ancora più difficile di quanto desideri: esistono set $ S $ tali che non esiste una macchina di tenuto che ha fornito $ n, x= 0 ^ {n} $ poiché l'ingresso emette qualsiasi stringa in $ s $ di lunghezza $ N $ A partire da $ 1 $ . Inoltre, possiamo costruire esplicitamente tale set $ s $ .

Questo è facile da dimostrare da un argomento di diagonalizzazione. Let $ k_ {w, n} $ Sii il set di stringhe di lunghezza $ n $ A partire da < Span Class="Math-Container"> $ W $ . Esiste un numero numerabile di macchine di Turing, quindi let $ m_ {i} $ essere la $ I $ Macchina di Turing. Per $ n \ geq 2 $ , se $ M_ {n-1} $ in ingresso $ n, x= 0 ^ {n} $ non fermi o emette una stringa in $ k_ {00, n} $ < / span>, impostare $ s_ {n}= k_ {1, n}} tazza k_ {00, n} $ . Altrimenti impostato $ s_ {n}= k_ {1, n}} tazza k_ {01, n} $ . Quindi $ s={\ Epsilon, 1 \} \ Cup \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ infty} s_ {i} $ è uno di questo tipo.