Quando può essere utilizzata l'ipotesi di convinzione?

Question

Possiamo utilizzare l'ipotesi di induzione quando stiamo dimostrando una proprietà per una struttura che è ben ordinata. Sono consapevole che c'è una prova per questo.

Quando si tratta di coinvolgimento, sono confuso.

Una delle risposte a un'altra domanda " Qual è la coinclusione? " menziona che esiste una nozione di una definizione corecursiva per essere ben formata.

Un sacco di cose che io (tentano) leggi correlati alla coinvolgimento per lo più parlare della bisimità ed equivalenza. Ma per il meglio delle mie conoscenze, quelli stanno cercando di dimostrare qualche relazione per due strutture di dati conoscitivi. Ad esempio, dimostrano che due flussi sono equivalenti. E l'ipotesi conduttiva è in qualche modo derivata da una delle ipotesi della bismalulazione. Anche così, penso di essere ancora perso sui requisiti di ciò che costituisce bene formato nel mondo conduttivo.

Posso in qualche modo vedere che l'ipotesi di coindicazioni funziona quando si verifica quei tipi di proposizioni, ma non sono ancora chiaro quando possono essere utilizzati per dimostrare di più proposizioni generali come quella menzionata in Qui è una coinclusione? . In quel collegamento, la proposta afferma che "qualcosa è infinito". Questo sembra una forma più generica di dichiarazione sarebbe interessata a dimostrare.

Una domanda probabilmente correlata è se qualsiasi proposizione può essere convertita e ri-dichiarata come proposizione di equivalenza o meno.

C'è qualche semplice ragionamento informale che parla perché i lavori di co-induzione per alcuni requisiti di ben formatura?

Spero in una spiegazione come se possibile: https://math.stackexchange.com/questions/432293/well-ordering-and-mathematical-induction/432302#432302 .

Answer 1

In primo luogo, lasciami richiamare meno e più grandi punti fissi per $ \ SOTETEQ $ . Stiamo lavorando rispetto ad alcuni set $ U $ , l'universo. Nel caso di (CO) definizioni induttive, $ U $ è l'insieme di tutti i termini. Una funzione $ f: 2 ^ u \ to2 ^ u $ (dai sottoinsiemi di $ U $ Assette di $ U $ ) è monotone , se $ A \ SOTETEQ B $ Implica sempre $ f (A) \ SOTETEQ F (B) $ . A Punto fisso di $ f $ è un set $ a $ tale $ F (A)= A $ .

per monotono $ f $ C'è sempre un punto meno fisso $ \ MU F $ , cioè L'intersezione di tutto $ A \ SOTETTEQ U $ In tal modo $ F (A) \ SOTETEQ A $ . minimo significa che per punti fissi arbitrari $ f $ abbiamo sempre $ \ MU F \ SOTETEQ F $ .

Per un esempio, lascia che $ f _ {\ Tt nat} $ essere definito da $ f _ {\ tt nat} (A)={0 \} \ Cup \ {N + 1 \ MID N \ in a \} $ . La funzione $ f _ {\ tt nat} $ è la funzione di chiusura a un passaggio sotto i costruttori $ 0 $ e $ + 1 $ . La condizione $ f _ {\ TT NAT} (A) \ SOCETETQ A $ significa che $ A $ è Chiuso sotto i costruttori $ 0 $ e $ + 1 $ . L'intersezione significa che $ \ mu f _ {\ tt nat} $ contiene solo quegli elementi che sono in ogni set chiuso sotto i costruttori. Questi capitano di essere i numeri naturali. L'esempio mostra come la definizione induttiva dei numeri naturali è il punto di chiusura meno fisso sotto i costruttori dei numeri naturali. Generalmente, i set definiti induttivi sono minimi punti di chiusura sotto costruttori.

Duramente, per monotono $ f $ C'è anche un maggiore punto fisso $ \ Nu f $ , vale a dire l'unione di tutti i $ a \ subeteTQ U $ , tale che $ f (a) \ supseteq a $ . più grande significa che per punti fissi arbitrari $ f $ abbiamo sempre $ \ Nu f \ supseteq F $ . Per completare la dualità, notare che l'intersezione è la $ \ SOTETEQ $ -INFimum e Union The $ \ SOTETEQ $ -supremum e quindi la $ \ supseteq $ -infimum. Quindi, infatti, i maggiori punti fissi per $ \ SOTETTEQ $ sono solo punti meno fissi per $ \ supseteq $ e viceversa. (Inoltre, osservare che il requisito della monotonicità è lo stesso per $ \ SOCETETH $ come per $ \ SUPSETEQ $ .)

Ora, per le tecniche di prova. Cominciamo con l'esempio di induzione sui numeri naturali. Per mostrare che alcune proprietà $ p $ Tiene per tutti i numeri naturali, mostriamo che $ P (0) $ e quella $ P (n) $ implica $ p (n + 1) $ . Visualizzazione $ P $ come sottoinsieme di $ U $ (l'insieme di tutti gli elementi in cui la proprietà è valida) , l'obbligo di prova per l'induzione naturale è che $ p $ è chiuso sotto $ f _ {\ tt nat} $ . La correttezza della tecnica di prova dell'induzione naturale segue dalla definizione del punto meno fisso: se $ f _ {\ TT NAT} (P) \ SOTETEQ P $ , quindi < span class="math-contenitore"> $ p $ fa parte dell'intersezione che forma $ \ mu f _ {\ tt nat} $ , quindi il La proprietà tiene in tutto $ \ MU F _ {\ TT NAT} $ , cioè $ \ mu f _ {\ tt nat} SOTETEQ P $ .

L'induzione è solo la generalizzazione del paragrafo precedente a monotono arbitrario $ f $ invece di $ f _ {\ TT NAT } $ . La coinclusione è la doppia di induzione: l'obbligo di prova è $ f (P) \ supseteq p $ . Ciò significa che se $ p $ contiene su alcuni elementi $ x $ , quindi

Class="Math-Container"> $ x $ è costruito utilizzando solo elementi di base su cui $ P $ Tiene anche. Quindi, invece di mostrare che la proprietà sopravvive all'applicazione dei costruttori, dobbiamo dimostrare che sopravvive a decostruzione. Una volta soddisfatta l'obilizzazione della prova, otteniamo $ \ Nu f \ supseteq p $ .

A cosa serve la conclusione $ \ Nu f \ supseteq p $ ? Lasciaci riconsiderare $ p $ Non come proprietà ma come sottoinsieme di $ U $ . La conclusione della coinclusione stabilisce che tutti gli elementi di $ P $ sono membri ben formati della figura definita con conducentemente definita $ \ Nu f $ . Questo è ciò che accade nell'esempio in Qual è la coinclusione? mostrando forall n, Infinite (from n). Qui, $ f $ è la chiusura sotto i costruttori di Infinite (non di colist!) E $ P $ È il set di tutti i termini del modulo from n per alcuni n.