Coinduction仮説を使用することができるのはいつですか？

Question

は、順序付けられた構造物のための特性を証明しているときに誘導仮説を使用することができます。私はこれに証明があることを知っています。

コイン犯しになると混乱しています。

別の質問に対する答えの1つ "href="https://cs.stackexchange.com/questions/525/what-is-coinduction/-coinduction/528#528">コインインシュイント数？"よく形成されるためのコースリック定義の概念があると言及しています。

協合に関連して読んだことがたくさんあります。ほとんどのバイシミュレーションと等価性について話します。しかし、私の知る限りでは、それらは2つのCoinDuctiveデータ構造にいくつかの関係を証明しようとしています。たとえば、2つのストリームが同等であることを証明します。そして、共途性仮説は、何らかの二重立ちの仮説の1つから派生している。そうであっても、私は私がまだコインダクティブ世界のうまく成形されているものの要求にまだ失われていると思います。

コインインシュート仮説がこれらの種類の命題を証明するときに働くことをどういうわけか見て、コイン化は何ですか？。そのリンクでは、命題は「何かが無限である」と述べています。これは、証明に興味があるという、より一般的な形の声明のようなものです。

おそらく関連する問題は、命題を変換して等価性の命題として再述べることができるかどうかです。

協調的な正当性の要件のために共同誘導が機能する理由を話す単純な非公式の推論はありますか？

可能な限り説明を願っています。 HTTPS： //math.stackexchange.com/questions/432293/Well-oundering-and-mathematical-Induction/432302-332302

Answer 1

最初に、 $ \ subseteq $ のための最小および最大の固定ポイントをリコールしましょう。いくつかのセット $ u $ 、ユニバースを基準にしています。 （CO）誘導定義の場合、 $ U $ はすべての条項のセットです。関数 $ f：2 ^ ^ ^ \ to2 ^ u $ （ $ u $ のサブセットからサブセットへ $ u $ の $ a \ subeteq b $ の場合、 monotone です。 $ f（a）\ subeteq f（b）$ を常に暗示します。 $ f $ の固定点は、set $ A $ です。 $ f（a）= $ 。

Monotone $ f $ は常に最低限の固定ポイント $ \ mu f $ 、すなわちの交差点は、 $ f（a）\ subeteq a $ です。 最小は、任意の固定点の場合 $ f $ に常に $ \ mu f \ subeteqを持っています。 f $ 。

例については、 $ f _ {\ tt nat} $ を定義します。 $ f _ {\ t nat} （a）={0 \} \ cup \ {n + 1 \ mid n \} $ 。関数 $ f _ {\ tt nat} $ は、コンストラクタ $ 0 $ の下のワンステップクロージャー関数です。 $ + 1 $ 。条件 $ f _ {\ tt nat}（a）\ subeteq a $ は $ a $ です。コンストラクター $ 0 $ 、および $ + 1 $ 。交差点とは、 $ \ mu f _ {\ tt nat} $ には、コンストラクタの下で閉じられたすべてのセットに含まれる要素のみが含まれています。これらは自然数であることが起こります。 この例では、自然数の帰納的定義が、自然数のコンストラクタの下で最も固定されているクロージャーの最小のクロージャーです。一般に、誘導的に定義されたセットは、コンストラクタの下での閉鎖の最小の閉鎖点である。

集中、Monotone $ f $ には、最大の固定小数点 $ \ nuf $ もあります。つまり、 $ f（a）\ supseteq a $ 。 Greatest は、任意の固定ポイントの場合 $ f $ です $ \ nu f \ supseteq f $ 。双対性を完了するには、 $ \ subseteq $ -infum and Union $ \ subseteq $です。 -supremum、したがって $ \ supseteq $ -infimum。したがって、実際には、 $ \ subseteq $ の最大の固定ポイントは、 $ \ supseteq $ そしてその逆も同様です。 （また、単調性の要件は $ \ subseteq $ に関して同じであることを確認してください。 $ \ supseteq $ 。）

今、証明技術のために。自然数の誘導例から始めましょう。 $ p $ がすべての自然数を保持することを示すために、 $ p（0）$ そしてその $ p（n）$ は、 $ p（n + 1）$ を意味します。 $ p $ の表示 $ u $ （プロパティが保持されているすべての要素のセット）として、自然な誘導に対する証明義務は、 $ p $ は $ f _ {\ tt nat} $ 。その後、自然帰納の証明技術の正確さは、最低限の固定点の定義から次のようになります。 $ f _ {\ tt nat}（p）\ subseteq p $ 、< SPAN CLASS="math-container"> $ p $ は、 $ \ mu f _ {\ tt nat} $ をフォームする交差点の一部です。 $ \ mu f _ {\ tt nat} $ 、つまり $ \ mu f _ {\ tt nat}} subseteq p $ 。

誘導は、 $ f _}の代わりに任意の単調 $ f $ への前の段落の一般化です。 $ 。 COINDUCTIONは誘導の二重です。証明義務は $ f（p）\ supseteq p $ です。つまり、 $ p $ が $ x $ で保持されている場合、

class="math-container"> $ x $ は、 $ p $ も保持する基本要素のみを使用して構築されています。 したがって、財産がコンストラクターの適用を生き残るのではなく、それが破壊犯を生き残ることを示す必要があります。証拠の胆汁が満たされると、 $ \ NU F \ SUPSETEQ P $ 。

結論 $ \ nu f \ supseteq p $ ですか？ $ p $ をプロパティとしてではなく、 $ u $ のサブセットとして。 Coinductionの終了は、 $ p $ のすべての要素が、共途に定義されたセット $ \ nu fの整形メンバーです。 $ 。 これは、の例で起こることです。 forall n, Infinite (from n)を表示します。ここでは、 $ f $ は、Infiniteのコンストラクタ（colist！）と $ p $ のコンストラクタの下の閉鎖です。 from nのためのForm nのすべての条項のセットです。