無向グラフと同等のグラフの最大フローが等しいことを証明する

Question

無向グラフ $ g $ があります。グラフ $ H $ は、 $（a、b）$ を変更して構築されます。="math-container"> $ G $ の一対のディレクトリと $（b、a）$ 。 $ H $ の最大フローが、 $ g $ の最大フローに等しいことを証明する方法？

私は本当にそれを起動する方法はわかりません。 $ h $ のFord-Fulkersonを使用できることを知っていて、 $ f（a、b）+ f（b、a）= c（a、b）$ ですが、それはそれです。

Answer 1

もし<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f_G $ の<スパンクラス="数学コンテナ">の有効な流れである$ G $ の、有効な流れが存在します $ h $ for $ f_h $ | ..= | F_H | $ 。これは、流れが常にあるので、<スパンクラス="数学コンテナ">のための<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f'_G $ の真実である$ G $ のように<スパンいますクラス="数学コンテナ"> $ | f'_G |= | f_G | $ のと全く縁が<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f'_G $ のの流れ分解で両方向にトラバースされていません。いくつかのエッジが<スパンクラス=「数学コンテナ」> $（U、V）$ は、<スパンクラス=「数学コンテナ」> $ X $ によって横断された場合、<スパンからの流れの単位<スパンクラス="数学コンテナ"> $ V $ と<スパンクラス="数学・コンテナ">にクラス="数学コンテナ"> $ U $ の$ yの\ルX $ <スパンクラス="数学コンテナ"> $ U $ のを<スパンクラス="数学コンテナ"> $ V $ のからの流れのの単位、あなたはに流れを再定義することができ $ xy $ $ u $ から $ v $ 。 $（u、v）$ が $ u $ から $ V $ をあなたがして、<スパンクラス=定義することができます" $ f_H（U、V）= f'_G（U、V）$ の数学コンテナを ">と<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f_h（v、u）= 0 $ 。 （$ <スパンクラス="数学・コンテナ">もし（u、v）は$ の未使用である<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f_H（U、V）= f_H（V、U）= 0 $ に）。

もし<スパンクラス="数学コンテナ"> $ f_H $ の$ H $ の<スパンクラス="数学コンテナ">の有効な流れで、有効な流れが存在します $ f_g $ for $ g $ $ | F_H | ..= | F_G | $ 。 $ f_H $ の場合、 $（u、v）$ と $（v、u）$ （wlog、 $ f_h（u、v）\ ge f_h（v、u）$ その後、flow $ f'_h $ $ f'_h（u、v）= f_h（u、v ） - f_h（v、u）$ 、 $ f'_h（v、u）= 0 $ 、および $ f'_H（X、Y）= f_H（x、y）は$をの<スパンクラス=用" でない数学コンテナ "> $（x、y）を\ \ \ {（U、V ）、（v、u）\} $ も $ H $ 、 $ | f'_h | ..= | F_H | $ 。これは、 $ f_g（u、v）= f'_h（u、v）$ を定義できることを示しています。