頂点カバーのアルゴリズムのための誤差下限

Question

頂点カバー問題のための次のランダム化アルゴリズムを持っています。 $ b_0 $ を出力セットにする：

• $ e_1、e_2、。 。 。 、e_m $ gのエッジセットe内のすべてのエッジを介して、 $ b_0=eastyset $ 。
• $ b_0 $ すべての孤立した頂点、すなわち入射エッジなしのもの。
$ E $ $ E_1、E_2、。 。 。 、e_m $
$ e $ の両方のエンドポイントが $ b_0 $ に含まれていない場合は、
• どのエンドポイントのどちらを選択するかを決定し、このエンドポイントを $ b_0 $ に追加します。

どのようにして、定数を証明することができます。 $ $ | b_0 | .. \ ge c | x $ ？

Answer 1

$ c + 1 $ 頂点のスターグラフを修正しました。スターグラフは、グラフ内の他のすべての頂点（中心と呼ばれるユニバーサル頂点）に接続されており、他のすべての頂点はペアワイズ隣接していません。ここでは視覚的な例です。 $ c $ は星の中心です。

今最適な解決策は星の中心を詰めることです。この解決策のサイズは1に等しくなります。各エッジについて、私たちのアルゴリズムはエッジのもう一方の端（非ユニバーサル頂点）をパックするとします。その中心を除くグラフのすべての頂点を梱包する必要があります。 $ c $ さまざまな頂点をパックする必要があります。 $ | B_0 |= C |任意だが $ c $ の任意ですが$ 。

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注 アルゴリズムの簡単な変更は、最適と同じくらい2倍の応答サイズを有するDERANDOMIZATE近似アルゴリズムをもたらす。次のようになります。エッジの両方のエンドポイントが $ b_0 $ にない場合は、 エンドポイントを $ B_0 $ と繰り返し。

これが機能する理由は簡単です。エンドポイントが最大のマッチングのために追加されるエッジ、したがって、最大マッチングで頂点数を2倍に追加します。グラフ内のマッチングのサイズは、最小の頂点カバーのサイズの下限であるため、最小の頂点カバーのサイズとして最大2倍の頂点を追加します。